非线性电动力学下高维全息超导体的临界温度研究
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更新于2024-07-16
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本文主要探讨的是高维全息超导体在非线性电动力学条件下的电导率特性，特别是在d维时空背景下。作者Ahmad Sheykhia、Doa Hashemi Asla和Amin Dehyadegari来自伊朗的Shiraz University和RIAAM Research Institute for Astronomy and Astrophysics of Maragha，他们针对s波全息超导体进行深入研究。
研究的核心内容集中在三个方面：
1. 临界温度与电荷密度的关系：作者利用解析的Sturm-Liouville方法和数值射击方法来分析和计算。这种方法是一种经典数学工具，用于求解线性和非线性微分方程，对于理解超导体的相变至关重要。通过这种方法，他们揭示了非线性参数b（可能代表非线性电动力学效应的强度）以及间隔尺寸对临界温度Tc（即超导转变温度）和电荷密度ρ之间关系的影响。这表明，非线性效应可以显著改变超导体的物理性质。
2. 非线性电动力学的作用：研究中提及的"Logarithmic nonlinearelectrodynamics"是指一种特殊的非线性模型，可能涉及到电场与电流之间的对数依赖关系。这样的理论框架对于理解超导体在极端条件下的行为至关重要，因为它可能模拟出不同于传统线性电动力学下的新现象。
3. 理论与数值结合：作者不仅依赖理论分析，还采用数值射击方法来验证和深化理解。这种方法是一种数值求解问题的有效手段，尤其适用于难以用解析方法解决的复杂系统，如高维空间中的超导现象。
这篇论文为理解高维全息超导体在非线性电动力学环境下的行为提供了新的见解，其研究结果对于理论物理学和超导体材料科学领域具有重要意义。开放获取的标签意味着这些研究成果可供全球学者自由查阅和引用，促进了学术交流和知识共享。
142 A. Sheykhi et al. / Physics Letters B 781 (2018) 139–154
3.1. Analytical method
First, we obtain analytically a relation between the critical temperature and charge density of the HSC by using the Sturm–Liouville
eigenvalue problem. For convenience, we transform the coordinate in such a way that, r → z = r
+
/r. Under this transformation, Eqs. (10)
and
(11)can be rewritten as
2 +b
z
4
r
2
+
φ
2
φ
+
bz
3
d
r
2
+
φ
3
−
r
2
+
z
4
φ
f
ψ
2
2 −b
z
4
r
2
+
φ
2
2
+
2(4 −d)
z
φ
= 0, (18)
ψ
+
f
f
+
4 −d
z
ψ
+
r
2
+
φ
2
z
4
f
2
−
m
2
r
2
+
z
4
f
ψ =
0, (19)
where the prime now indicates derivative with respect to z. At the critical temperature (T = T
c
) we have ψ = 0, which implies that in
this temperature the condensation is zero. Thus, Eq. (18)reduces to
2 +b
z
4
r
2
+c
φ
2
φ
(z) +
bz
3
d
r
2
+c
φ
3
(z) +
2(4 −d)
z
φ
(z) = 0. (20)
Now, we try to solve the above equation and find a solution for this equation in the interval [z, 1]. Considering the asymptotic behavior
of φ near the AdS boundary (z → 0), given in Eq. (13), we can write the solution in the form
φ(z) = λr
+
c
ζ(z), (21)
where λ =
ρ
r
d−2
+c
, and
ζ(z) =
1
z
1 +2(d −3)
2
bλ
2
˜
z
(2d−4)
−1
(d −3)bλ
2
˜
z
d
d
˜
z, (22)
and we have used the fact that φ(1) = 0. Since the above integral cannot be solved exactly, we perform a perturbative expansion of
2(d − 3)
2
bλ
2
in the right side of Eq. (22) and consider only the terms that are linear in b. For this purpose, we assume the nonlinear
parameter b expressed as
b
n
=nb, n = 0, 1, 2, ···, (23)
when b =b
n+1
−b
n
[31]. So the expansion of 2(d − 3)
2
bλ
2
is
2(d −3)
2
bλ
2
=2(d −3)
2
b
n
λ
2
= 2(d −3)
2
b
n
(λ
2
|
b
n−1
) + O [(b)
2
] . (24)
Substituting Eq. (24)into Eq. (22), we can distinguish two cases [31]:
In
the first case where 2(d − 3)
2
b
n
(λ
2
|
b
n−1
) < 1, we have
ζ(z) = ζ
1
(z) ≈
1
z
[1 +b
n
(λ
2
|
b
n−1
)(d −3)
2
˜
z
(2d−4)
−
1
2
b
n
2
(λ
4
|
b
n−1
)(d −3)
4
˜
z
(4d−8)
+...]−1
(d −3)b
n
(λ
2
|
b
n−1
)
˜
z
d
d
˜
z
= (1 − z
d−3
) +
(
d −3)
3
b
n
(λ
2
|
b
n−1
)
2(7 −3d)
(
1 − z
3d−7
). (25)
In the second case where 2(d − 3)
2
b
n
(λ
2
|
b
n−1
) > 1, the integration can be done for two ranges of values of z, one for z < z
0
< 1 and the
other for z
0
< z ≤ 1. Here z
0
is obtained from 2(d − 3)
2
b
n
(λ
2
|
b
n−1
)z
2(d−2)
= 1for z = z
0
. In the former case where z < z
0
< 1, we have,
ζ(z) = ζ
2
(z) ≈
z
0
z
[1 +b
n
(λ
2
|
b
n−1
)(d −3)
2
˜
z
(2d−4)
−
1
2
b
n
2
(λ
4
|
b
n−1
)(d −3)
4
˜
z
(4d−8)
+...]−1
(d −3)b
n
(λ
2
|
b
n−1
)
˜
z
d
d
˜
z
+
1
z
0
1
(d −3)b
n
(λ|
b
n−1
)
˜
z
d
2b
n
(λ|
b
n−1
)(d −3)
˜
z
(d−2)
1 +
1
4b
n
(λ
2
|
b
n−1
)(d −3)
2
˜
z
(2d−4)
−
1
32 b
2
n
(λ
4
|
b
n−1
)(d −3)
4
˜
z
(4d−8)
−
1
d
˜
z
=−z
d−3
+ z
d−3
0
−
(
d −3
)
3
2
(
3d −7
)
b
n
λ
2
|
b
n−1
z
3d−7
0
− z
3d−7
+
√
2
√
b
n
(λ|
b
n−1
)
1
z
0
−1
+
1
2
√
2
(
−
2d +3
)(
d −3
)
2
b
n
√
b
n
λ
3
|
b
n−1
1 − z
−2d+3
0
−
1
(d −3)(−d +1)b
n
(λ
2
|
b
n−1
)
1 − z
−d+1
0
−
1
16
√
2(d −3)
4
(−4d +7) b
2
n
√
b
n
(λ
5
|
b
n−1
)
1 − z
−4d+7
0
.
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