非负矩阵与张量分解：探索性多维数据分析

"《非负矩阵与张量分解》(2009年版)是Andrzej Cichocki等人合著的一本专著，深入探讨了非负矩阵分解（NMF）及其在探索性多维数据分析和盲源分离中的应用。书中还涉及了非负张量分解（NTF）和非负 Tucker 分解（NTD）等扩展和修改模型，为读者提供了一个全面的理论框架和高效的算法集合。" 正文： 非负矩阵分解（NMF）是一种矩阵分解方法，它将非负矩阵表示为两个非负矩阵的乘积。这种方法在数据挖掘、图像处理、自然语言处理等多个领域有广泛应用。NMF的基本思想是假设原始数据矩阵的元素都是非负的，这使得分解结果更易于解释，因为非负性通常对应于物理意义的正向属性，如浓度、频率或概率。NMF可以用于特征提取，减少数据维度，同时保持数据的积极特性。 在《非负矩阵与张量分解》一书中，作者们进一步扩展了NMF的概念，引入了非负张量分解（NTF）。张量，也称为多维数组，可以用来处理多模态或多变量数据。NTF允许对高阶张量进行分解，这在处理复杂数据结构，如多通道图像或时间序列数据时非常有用。NTF提供了对数据更深层次的洞察，可以揭示隐藏的多维模式和关联。 非负 Tucker 分解（NTD）是NMF与Tucker分解的结合，它不仅保留了非负性的优势，还利用了Tucker分解的灵活性。在NTD中，一个高阶张量被分解为一个核心张量与一组沿着各个模式的因子矩阵的乘积。这种方式能够更好地捕捉数据的局部和全局结构，对于数据压缩、特征学习和模式识别具有显著优势。 书中详细介绍了这些方法的数学原理、算法实现以及在实际问题中的应用。例如，NMF和NTF在盲源分离（BSS）中的应用，这是一种在不知道信号源的情况下，从混合信号中恢复原始独立信号的技术。在BSS中，非负性约束可以帮助区分不同信号源，例如在音频信号处理中分离不同的声音或者在医学成像中区分不同类型的生物标记。 此外，书中还涵盖了相关的优化策略、收敛性分析以及如何评估和选择合适的分解参数。作者们提供了丰富的案例研究和实证分析，帮助读者理解和掌握这些方法的实际操作。《非负矩阵与张量分解》是理解、应用和开发非负分解技术的宝贵资源，对于希望在多元数据分析领域深化研究的学者和技术人员来说，是一本不可多得的参考书。