离散Painlevé方程在5d矩阵模型中的应用与字符串方程

"这篇学术论文探讨了5维矩阵模型中的离散Painlevé方程、Miwa变量以及与其相关的字符串方程。作者是A. Mironov, A. Morozov和Z. Zakirova，发表在JHEP10(2019)227，并由Springer出版。文章主要研究了保形矩阵模型（CMM）在Dijkgraaf-Vafa阶段的特性和结构，特别是在离散形式下的Hirota方程及其与Toda链的关系。" 离散Painlevé方程是数学中的一个重要概念，特别是在可积系统理论中，它们是一类特殊的非线性微分或差分方程，拥有唯一解的性质。在5维矩阵模型的背景下，这些方程呈现出离散的形式，这是由于模型的耦合被定义为Miwa时间变量。Miwa变量是一种多变量的参数集合，常用于处理矩阵模型中的积分问题，尤其是与二维共形场论相关的矩阵模型。 在本文中，作者指出，只有在特定的傅立叶变换下，CMM才能拥有行列式表示，并且转变成Toda链的τ函数。Toda链是一种重要的可积系统，其τ函数满足Hirota的双线性方程。在这里，Hirota方程呈现出了离散化的特征，这与模型的内在维度的傅立叶变换有关。 字符串方程是另一个关键点，它是超几何函数的附加条件，特别是对于那些需要满足的特殊T函数。在Miwa变量下，这些方程转化为有限差分方程，类似于L-1 Virasoro约束。通过重写基于T函数移位的双倍比率的字符串方程，可以消去这些差分，从而得到与M. Jimbo和H. Sakai提出的q-PVI方程等价的更复杂的方程。q-PVI方程是q变形的Painlevé VI方程，与传统的Painlevé方程相比，它在数学和物理中具有独特的性质。 在q变形（"5d"）矩阵模型中，这些离散Painlevé方程显得更为简洁。然而，当在"连续"极限q接近1，即4维情况时，需要考虑具有非单位多重性的Miwa变量。这个过程将离散的q-Painlevé VI转换为复微分的Painlevé VI方程，这是更高维度物理模型中的一种重要变换。 这篇论文深入研究了5维矩阵模型中的数学结构，特别是离散Painlevé方程和Miwa变量如何影响模型的可积性，以及字符串方程如何连接超几何函数和T函数。这些结果对于理解量子场论、共形场论以及矩阵模型的复杂性有深远的意义，并为未来的研究提供了基础。