线性分类器设计：求解权向量与梯度下降

"北京邮电大学模式识别课件-模式识别导论第03章 分类器的设计" 在模式识别领域，分类器的设计是一项关键任务，尤其是对于线性分类器。本资源聚焦于如何通过梯度下降法求解最小值并对权重向量W进行更新。在描述中提到的迭代公式`Wk+1 = Wk-ρk▽J`是梯度下降法的基本形式，其中`Wk`是当前权重向量，`ρk`是学习率，`▽J`是损失函数J关于W的梯度。目标是通过不断迭代，使损失函数J在第K+1次迭代时趋于0，从而找到最优权重向量W。 第三章主要探讨了三种类型的分类器设计：线性分类器、分段线性分类器和非线性分类器。线性分类器的设计是基础，它基于线性判别函数`g(x) = WTX`，其中X是n维特征向量，W是(n+1)维权重向量。这个函数的目的是通过特征抽取和权向量的计算，将数据有效地划分为不同的类别。 训练线性分类器的过程是有监督的，即利用已知类别的样本（学习样本）来确定权重向量W。该过程可以通过解决一个线性不等式方程组来实现，该方程组确保每个已知类别的样本都位于正确的决策边界一侧。例如，对于二类问题，如果(Xa, Xb)属于类别1，则g(x) > 0；而(Xc, Xd)属于类别2，则g(x) < 0。通过这样的线性组合，可以建立一组线性不等式，进而求解权重向量W1, W2, W3等。 求解权向量W的关键在于，只有在数据线性可分的情况下，这个方程组才会有解。这意味着存在一个超平面能够完美地将不同类别的样本分开。然而，实际问题中可能存在多个解，这取决于选择的优化目标和约束条件。此外，梯度下降法和其他优化算法，如牛顿法或拟牛顿法，可以用于寻找全局最优解或局部最优解。 在处理非线性问题时，可能需要引入非线性变换，例如核函数，将原始特征空间映射到高维特征空间，使得原本在低维空间中难以分隔的数据在高维空间中变得线性可分。这通常是通过非线性分类器的设计来实现的，如支持向量机(SVM)。 最后，分段线性分类器的设计则涉及将整个特征空间划分为多个线性区域，每个区域内应用不同的线性分类规则。这种方法在面对复杂分类问题时更为灵活，但可能需要更多的计算资源和更复杂的训练过程。 本资源提供了关于分类器设计的深入理解，特别是线性分类器的构建方法，包括梯度下降法的应用和线性不等式方程组的求解，这对于理解和实现机器学习中的分类任务至关重要。同时，也介绍了如何处理非线性问题以及线性分类器在实际问题中的局限性和适用性。