数值分析课后习题详解与误差分析

"该资源为《数值分析》课程的第五版课后习题答案，包含了解题过程，涉及数值分析中的误差计算、有效数字、条件数、递推公式误差分析、方程求解精度以及实际问题中的误差控制等多个知识点。" 在数值分析这门学科中，我们关注的是用计算机或数学方法处理实际问题时的数值计算及其误差分析。从提供的内容来看，主要讨论了以下几个核心概念： 1. 误差计算：相对误差是衡量数值近似值精确度的重要指标。如题目1和2所示，通过相对误差可以计算出具体数值的误差。相对误差定义为[pic]，其中ε是误差，x是真实值，x'是近似值。 2. 有效数字：题目3考察了有效数字的概念，有效数字反映了数值的精确度。例如，一个四舍五入得到的近似数，其误差限不超过最后一位的半个单位，我们可以据此判断其有效数字的位数。 3. 误差限与条件数：在题目4中，利用公式(2.3)求解近似值的误差限，这涉及到函数的条件数，条件数反映了函数对输入变化的敏感程度。条件数越大，计算结果对输入的微小变化越敏感。 4. 递推公式与误差积累：在题目6中，通过递推公式[pic]进行计算，随着n的增加，误差会累积。这里展示了如何分析和估计这种累积误差。 5. 方程求解的精度：题目7展示了如何找到具有特定精度的方程根。在数值方法中，通常要求解的近似值具有足够的有效数字，以确保计算结果的可靠性。 6. 函数的性质与误差限：在计算球体积的问题（题目5）中，我们看到如何根据函数的条件数来确定允许的相对误差限，以达到一定的相对误差目标。 7. 实际应用中的误差控制：在题目9和10中，讨论了如何测量长度和时间以控制实际问题（如正方形面积和物理过程）的误差不超过特定限值。 这些习题解答涵盖了数值分析的基本理论和应用，对于学习者深入理解数值计算中的误差分析、精度控制和实际问题解决策略具有重要意义。通过这样的练习，学生能更好地掌握数值方法，并在面对实际计算问题时做出正确的误差评估和计算决策。