计算几何进阶：O(logn)判断点与凸包及切线算法

本篇笔记是关于计算几何的进阶学习内容，主要讨论了两个关键主题：一是如何使用高效的算法判断一个点是否位于多边形的凸包内，另一个是如何通过凸多边形的一个方向来求取其关于该方向的极点，进而找到与外部点的切线。 首先，针对点是否在凸包内的问题，作者提供了一个C++代码实现，使用了分治策略。该算法的时间复杂度为O(logn)，其中`crossOp`函数可能涉及到向量叉积来确定点与多边形边的关系。代码首先处理了特殊情况，如多边形只有一条边或两点的情况，然后通过比较点与多边形顶点的极角来二分查找，以判断点的位置。根据交叉点的数量和方向，判断点是在多边形内部、边界上还是外部，并返回相应的标记。 接着，作者介绍了一个求解凸多边形在特定方向上的极点的方法，同样采用了O(logn)的时间复杂度。这个过程涉及到对边的方向检查，通过`toleft`函数判断边的方向，以及使用`nx`函数实现循环索引。如果某个方向的极点存在，则函数会返回对应的极点索引。这种方法对于理解和扩展计算几何中的图形操作非常有帮助，尤其是在实时渲染、碰撞检测等场景中，对效率要求较高的应用。 通过这篇笔记，读者可以深入了解计算几何中的基本操作技巧，如如何利用几何性质优化数据结构，以及如何设计高效算法来处理凸包和多边形相关的问题。这对于那些希望在计算机图形学、GIS系统或者游戏开发等领域深入研究的人来说，是一份宝贵的参考资料。