ACM图模型与搜索算法详解：邻接矩阵与邻接表解析

本讲稿是针对ACM选修课程中图模型与搜索算法的内容，主要讲解了两种常用的图数据结构：邻接矩阵和邻接表。以下是详细的知识点概述： 1. **逻辑结构**：图是一种抽象数据类型，由顶点集合和边集合组成，用于表示对象之间的关系。图可以是无向图，其中任意两个顶点之间的边是双向的；也可以是有向图，边具有方向性。 2. **存储结构**： - **邻接矩阵**：它是二维数组，用于表示图中顶点间的连接。无向图的邻接矩阵是对称的，即A[i][j]等于A[j][i]；有向图则可能不对称。邻接矩阵可以方便地查询顶点的度，即出度或入度。对于带权图，可以使用无限值（如`∞`）来表示不存在的边。 - **邻接表**：针对无向图，邻接表通过单链表形式存储每个顶点与其相邻顶点的关系。每个顶点有一个链表，链表中的结点包含相邻顶点的索引和指向下一个邻接结点的指针。邻接表的空间效率通常优于邻接矩阵，尤其当图中存在大量稀疏边时。 3. **操作实现**： - 邻接矩阵的操作包括查找两个顶点之间是否存在边，计算顶点的度等，可以通过直接访问数组元素实现。 - 邻接表的实现涉及对链表的遍历，插入和删除操作，需要维护`Vexnext`指针链表，以便快速找到相邻顶点。 4. **创建和初始化**： - 在使用邻接表前，需要为所有顶点分配存储空间，初始化链表为空。对于无向图，两个顶点之间的链接需要双向设置。 5. **复杂度分析**： - 邻接矩阵的空间复杂度为O(V^2)，其中V为顶点数量，适用于稠密图。而邻接表空间复杂度接近于O(E)，E为边的数量，更适合稀疏图。 - 邻接矩阵的查询速度较快，时间复杂度为O(1)，但在插入和删除边时需要更新整个矩阵，效率较低。 - 邻接表的查询速度稍慢，但操作边时只需要修改链表，效率较高。 通过本讲稿，学习者能够掌握图模型与搜索算法的基础概念，并能运用邻接矩阵和邻接表这两种数据结构进行图的表示和操作，这对于解决ACM竞赛中的许多问题至关重要。理解这些概念有助于提高在图算法如深度优先搜索（DFS）、广度优先搜索（BFS）以及最短路径算法等方面的能力。