正则半群的Q-逆断面上的同余研究

"这篇论文是关于具有Q-逆断面的正则半群上的同余关系的研究，由商宇和汪立民在2007年发表于《兰州大学学报(自然科学版)》第43卷第5期。文章探讨了在具有特定结构的正则半群S上，基于子半群I和L的同余条件以及由此构建的同余对，并提供了S上的同余刻画。此外，论文还利用提出的同余刻画方法描述了逆半群同余、群同余和幂等分离同余等概念。" 正文: 在数学，特别是代数领域，正则半群是半群理论中的一个重要概念，它包含一个逆元素的操作，即每个元素都有一个或多个逆元。在该论文中，作者聚焦于一类特殊的正则半群——具有Q-逆断面的正则半群。这里的Q-逆断面是指半群S中一个子半群SO，其中每个元素x的逆元集合V(x)至少与SO有一个交点，即对于所有x∈S，存在z∈SO使得lV(x)∩SO≠∅。这样的结构在研究半群的性质时具有重要的理论价值。 论文引入了基于子半群I和L的同余概念，这是一种代数结构中的等价关系，使得半群中的元素可以被归约为更简单的形式。同余关系需要满足三个基本性质：自反性（每个元素与其自身同余）、对称性（如果a与b同余，那么b也与a同余）和传递性（如果a与b同余且b与c同余，那么a与c也同余）。在此基础上，作者提出了相容条件，即I和L上的同余关系如何在更大范围的正则半群S上保持一致。 作者通过Saito的结构定理来构造同余对，这是一个强大的工具，用于从子半群的结构推导出整个半群的同余性质。利用这种方法，他们能够抽象地定义并刻画S上的同余关系。这个刻画不仅适用于一般的同余关系，而且特别针对逆半群同余、群同余和幂等分离同余进行了详细描述。逆半群同余关注的是半群中逆元之间的同余关系，群同余则涉及到半群可以被分解为若干个群的结构，而幂等分离同余则是将半群中的幂等元（即自我平方等于自身的元素）进行区分的同余关系。 论文的这些研究成果对于理解正则半群的结构和性质，特别是在理论计算、代数编码和布尔函数等领域具有深远的理论意义和应用价值。通过深入研究这类同余关系，可以促进对半群理论的理解，同时可能为解决相关领域的实际问题提供新的视角和方法。