最大似然估计：逻辑回归与高斯模型参数估计详解

最大似然估计法是统计学中一种常用的技术，它属于有监督学习中的参数估计方法。该方法基于极大似然原理，该原理的基本思想是，在观察到某个结果时，假设它在所有可能的结果中出现的概率是最高的。例如，当我们从两个箱子中抽到一个黑球，尽管两个箱子的球数量不同，但极大似然估计告诉我们，由于黑球出现的概率在乙箱中明显更高，我们倾向于认为黑球来自乙箱。 在最大似然估计中，给定一个概率分布D，我们通常有一个未知的参数θ，该分布的密度函数或概率质量函数由θ决定。我们的目标是根据一组观测数据X1, X2, ..., Xn，找到使这些数据在给定分布下概率最大的θ值。这个过程可以通过构造似然函数L(θ|X)，即所有观测数据在参数θ下的联合概率，来实现： \[ L(\theta|X) = \prod_{i=1}^{n} f_D(X_i; \theta) \] 其中，\( f_D(X_i; \theta) \) 是单个观测值X_i在θ下的概率密度或质量。为了找到最大似然估计，我们需要求解这个函数关于θ的极大值： \[ \hat{\theta}_{MLE} = \arg\max_{\theta} L(\theta|X) \] 这意味着我们要找的是使似然函数最大化的θ值。这个估计方法不同于非参数估计，后者追求的是估计值的无偏性，而最大似然估计更关注于找到使数据最有可能发生的参数值。 在实际应用中，最大似然估计广泛用于各种领域，如线性回归（如逻辑回归）、概率模型（如高斯判别模型），以及许多机器学习算法中的模型参数估计。例如，逻辑回归通过最大化观测数据点落在不同类别上的概率来估计分类边界，而高斯判别模型则通过最大化数据点与模型预测的联合概率来确定参数。 总结来说，最大似然估计是一种强大的工具，它帮助我们在不确定参数的情况下，基于实际观测数据找出最能解释这些数据的参数估计。这种方法简洁直观，但在实际操作中可能需要进行数值优化来找到最大值，尤其是在参数维度较高或者数据量较大的情况下。