凸优化与概率初步：从EM算法到凸集概念解析

"这篇资料是关于凸优化在实践中的应用介绍，主要涵盖了凸优化的基础概念，包括凸集、凸函数、凸优化问题及其对偶问题，同时也涉及到了概率论的相关知识，如指数族分布和EM算法的推导。此外，还讲解了仿射集、仿射包、凸集、凸包、锥以及相关的几何对象，如超平面、半空间、欧式球和椭球。" 在实际的优化问题中，凸优化是一种重要的方法，因为它保证了全局最优解的存在性和唯一性，使得问题的求解更为简单和可靠。这篇资料首先介绍了历史遗留问题，比如计算Ax的偏导数，讨论了跳表查询的时间复杂度下限，以及在EM(期望最大化)算法中参数θ的处理。 接着，资料深入到EM算法的推导，通过将观测变量Y和待估计参数θ表示出来，展示了如何利用极大似然估计来求解参数。这里，观测变量Y和隐含变量Z被引入，构建了联合概率模型，并进一步推导出似然函数。 资料的主要目标是让读者掌握概率论中的各种分布特性，理解指数族分布，以及引出充分统计量和广义线性模型(GLM)的概念。这些概念是统计学和机器学习中的基础。 随后，资料详细讲解了凸优化的关键组成部分，包括： 1. 凸集：如果集合内的任意两点之间的线段都在集合内，那么这个集合被称为凸集。 2. 凸函数：如果函数满足在其定义域上的任何线段上都非减，即函数曲线不会向下凹陷，那么这个函数是凸函数。 3. 凸优化：寻找凸函数在凸集上的最小值，这是优化问题的一种重要类型。 4. 对偶问题：对于原问题而言，存在一个等价的对偶问题，它可以提供原问题的另一种求解途径。 此外，资料还介绍了仿射集和仿射包的概念，它们是凸集的推广，包含了线性组合的形式。仿射包是最小的仿射集，能完全覆盖原始集合。仿射集的维数和仿射包的概念有助于理解多维空间中的几何结构。 接下来，资料讨论了凸包，它是包含一个集合的所有凸组合形成的最小凸集。而锥和锥包则是处理非负权重的线性组合，特别适用于描述某些优化问题的可行域。 最后，资料提到了超平面、半空间、欧式球和椭球等几何对象，这些都是在凸优化和几何分析中常见的概念。例如，半正定矩阵集是凸锥，这在处理二次型优化问题时非常关键。 通过这些基础知识的学习，读者可以更好地理解和应用凸优化方法，例如在最小二乘问题和支持向量机(SVM)等机器学习算法中。