变尺度法与嵌入式驱动开发：原理与应用

"本文主要介绍了变尺度法的基本原理，这是解决最优化问题的一种方法，尤其在嵌入式系统和驱动开发中可能有应用。在Newton法的基础上，通过迭代寻找目标函数的最小值。讨论了迭代公式的设计，包括步长因子和搜索方向的确定，以及对迭代矩阵的要求，如对称正定性和拟Newton条件。此外，还提到了最优化问题的定义和要素，以函数极值为例解释了最优化问题的数学模型，并给出了两个实际问题的求解示例。" 变尺度法是一种用于求解最优化问题的算法，特别是在求解非线性优化问题时常用。该方法基于Newton法，但通过近似Hesse矩阵的逆来避免直接计算Hesse矩阵的复杂性。在Newton法中，迭代公式通常涉及目标函数的梯度和Hesse矩阵。变尺度法则通过构造一个矩阵序列{kH}来近似Hesse矩阵的逆，以简化迭代过程。 迭代公式(5.27)引入了一个步长因子kt，使得在确定搜索方向的同时可以灵活调整步长，以期望更快地接近最优解。为了确保迭代的下降性质，要求矩阵{kH}是对称正定的，这样搜索方向始终指向目标函数下降的方向。此外，为了简化迭代，要求{kH}遵循校正公式(5.28)，即每次迭代仅需对前一次的矩阵进行修正。同时，变尺度法的{kH}还需满足拟Newton条件，即在一定的近似条件下保持与真实Hesse矩阵逆的相似性。 最优化问题的核心是找到在一定约束条件下最大化或最小化某个目标函数的最优解。最优化问题包含三个关键要素：目标函数、可行的解决方案集（方案）和约束条件。静态最优化问题不涉及时间变量，而动态最优化问题则要考虑时间变化的影响。 通过数学模型，我们可以解决实际问题，例如，如何裁剪正方形铁板以最大化水槽的容积，或者在给定侧面积下求解最大体积的长方体。在这些例子中，我们利用了函数极值的概念，通过求解导数等于零的驻点，并结合二阶导数判别法来确定极大值点。在实际应用中，拉格朗日乘数法可以帮助我们在约束条件下求解优化问题，如例1.2所示，通过引入拉格朗日乘子来平衡体积最大化和侧面积恒定的条件。