一元线性回归与异方差分析

"异方差分析是线性回归分析中的一个重要概念，涉及到残差的方差是否随自变量的变化而变化。在理想情况下，线性回归的残差应该具有恒定的方差，即同方差性。然而，当残差的方差随自变量的值增加或减少而增加或减少时，就存在异方差性。这种现象可能导致错误的统计推断，例如，使一些实际上不重要的自变量在回归模型中显得显著。 异方差性对线性回归的影响主要体现在以下几个方面： 1. 参数估计的偏差：异方差性会使得最小二乘法估计的参数偏大或偏小，影响模型的准确性。 2. t检验和F检验的失效：由于异方差性，基于这些统计量的假设检验可能会给出错误的拒绝或接受零假设的结果。 3. 预测误差的不确定性：异方差性会使预测误差的标准差随着预测值的变化而变化，导致预测区间不准确。 应对异方差性的方法通常包括以下两种： 1. **绘制残差图**：通过将残差与自变量或预测值绘制成图，观察是否存在明显的趋势或模式。如果残差的大小与自变量或预测值有关，那么可能存在异方差性。 2. **等级相关分析**：这是一种统计检验方法，用于检查残差的方差是否随着自变量的等级（如排序后的值）变化而变化。 回归分析是一种统计工具，主要用于研究两个或多个变量之间的关系。在本资源中，主要关注的是**一元线性回归**，即只涉及一个自变量的线性关系分析。回归分析不仅描述了变量之间的关系强度，还允许进行预测和控制。与相关分析相比，回归分析更侧重于确定自变量如何影响因变量，而且可以建立预测模型。 回归分析的基本步骤通常包括： 1. 数据收集和探索性数据分析，包括绘制散点图以初步了解变量间的关系。 2. 建立回归模型，确定因变量和自变量的关系。 3. 检验模型的合理性，如检查残差的同方差性、异常值、多重共线性等问题。 4. 进行统计推断，如t检验、R²计算等，评估自变量的显著性和模型的整体拟合度。 5. 利用模型进行预测或解释。 在实际应用中，例如要分析人均收入对人均食品消费支出的影响，可以通过绘制散点图初步观察两者之间的关系，然后构建线性回归模型，进一步分析收入对消费支出的决定作用。同样，其他领域如金融、航空服务质量和市场营销策略等，也可以运用类似的方法来研究相关变量间的关系。"