无约束优化与非线性方程数值方法详解

《J. E. Dennis与Robert B. Schnabel的无约束优化和非线性方程数值方法》是一本经典的英文原版书籍，它被收录在应用数学经典系列中，旨在重新出版那些曾因印刷限制而暂时脱销的宝贵著作，以满足数学科学家持续的需求。本书共分十一章，内容涵盖了广泛的数值分析领域，对于从事或对优化和非线性问题感兴趣的读者具有很高的价值。 第1章是引言，介绍了无约束优化和非线性方程研究的背景以及这些领域在工程、经济、物理等实际问题中的重要性。章节通过实例展示了这些理论在实践中的应用，帮助读者建立起概念框架。 接下来，单变量非线性问题章节探讨了在一维情况下如何处理复杂的函数优化问题，包括求极值和找到函数零点的基本策略。这为后续的多变量分析打下了基础。 在数值线性代数知识部分，作者详细解释了矩阵运算、行列式、逆矩阵和特征值等概念，这些都是解决优化问题中的关键工具。读者会学习到如何利用这些工具来求解线性系统，这对于理解牛顿方法至关重要。 多变量微积分的知识在书中占有重要地位，包括多元函数的极限、偏导数、梯度、方向导数和Hessian矩阵等，这些都是非线性方程组和最小化问题的核心概念。通过这些理论，读者可以理解函数的局部行为和梯度下降法的原理。 进入核心内容，非线性方程组和无约束最小化的牛顿方法章节详述了牛顿迭代算法的原理和步骤，包括牛顿-Raphson过程，以及如何使用Hessian矩阵来近似局部最优解。这里强调了牛顿方法的高效性和全局收敛条件的修正，使得算法在实际应用中更为可靠。 最后，作者还讨论了牛顿方法的全局收敛修正，即如何克服可能出现的局部最优和鞍点问题，确保算法在最广泛的情况下都能找到全局最优解。这部分内容通常涉及梯度和Hessian的性质，以及相关的搜索策略和技巧。 总结来说，《J. E. Dennis与Robert B. Schnabel的无约束优化和非线性方程数值方法》是一本深度全面的教材，涵盖了从基础理论到实用算法的各个方面，适合数学、工程和科学领域的专业人士，以及研究生和高级本科生进行深入学习和研究。通过阅读这本书，读者不仅能掌握无约束优化的基本技术，还能理解如何将这些方法应用于解决实际的工程和科学问题。