复合Poisson过程的将来最小过程极限性质研究

"一类暂留复合Poisson过程的相伴将来最小过程的极限性质 (1998年)" 本文探讨的是复合Poisson过程及其伴随之将来最小过程的极限性质，这是概率论和随机过程领域的一个重要研究主题。复合Poisson过程是由标准Poisson过程与独立同分布随机变量序列相结合而形成的过程，它在保险精算、排队理论和统计物理学等多个领域有广泛的应用。 复合Poisson过程{X(t), t ≥ 0}的构建是这样的：假设我们有一组独立同分布的随机变量序列{ξ_i, i = 1, 2, ...}，它们的取值来自实数集，并且满足一定的条件，如p(ξ_i < 0) > 0（负概率非零），期望Eξ_i < ∞以及方差Varξ_i < ∞。此外，还存在一个参数为A的标准Poisson过程{N(t), t ≥ 0}，它是独立于ξ_i序列的。将ξ_i乘以N(t)并求和，得到复合Poisson过程X(t) = Σξ_iN(t)。 对于这个过程，文章指出存在唯一的负实数r，使得矩母函数M(x) = E(e^(xξ))在x=r时等于1，即M(r) = 1。这个负解r具有重要的意义，因为它与过程的极限行为紧密相关。 相伴的将来最小过程{I(t), t ≥ 0}定义为I(t) = inf{s ≥ t | X(s)}，即从时间t开始到任意时间s的X(s)的最小值。文章的中心结果是，当t趋向无穷大时，X(t)减去I(t)与L(t)的比例的极限几乎处处为|r|，这里L(t) = ln(t ∨ e)，其中t ∨ e表示t和e之间的较大值。 具体来说，定理表明： lim sup_t→∞ (X(t) - I(t)) / L(t) = |r| a.s. 这个定理揭示了复合Poisson过程与它的未来最小过程在长时间尺度下的相对行为，为理解这种过程在极限状态下的特性提供了理论基础。 此外，文中还提到了一些关于复合Poisson过程的其他性质，例如其Fourier变换、期望值和方差，这些都是分析和应用复合Poisson过程时的关键工具。 该研究深入探讨了复合Poisson过程和未来最小过程的极限性质，对于理解这类随机过程的行为模式和潜在应用有着深远的影响。这不仅有助于深化理论知识，也为实际问题的建模和解决提供了重要的理论支持。