图论基础：顶点、弧与数据结构在有向/无向图中的应用

在顶点图的数据结构课程中，主要讨论了图的基本概念和组成部分。图是一种数据结构，由两个集合构成：顶点集V和边集（或称为弧集）E。图可以分为两类：无向图和有向图。 1. **顶点(Vertex)：** 图中的基本数据元素，代表图中的个体或对象。在无向图中，顶点之间通过边相连，而在有向图中，顶点之间通过弧（有方向的连接）相连。对于有向图，弧尾是指从某顶点出发的弧，弧头是指弧指向的顶点。 2. **边(Edge)与弧(Arc)**: 在无向图中，边是一个无序对，表示两个顶点之间的连接，如<v, w>，而有向图中则是弧，如<v→w>。在有向图中，边是有方向的，即(v, w)和(w, v)不同时存在于边集中。 3. **完全图(Completed Graph)**: 完全图是指图中任意两个顶点间都存在边（无向图）或弧（有向图）。例如，在一个有4个顶点的完全图中，每个顶点与其他所有顶点都有一条边相连。 4. **无向完全图与有向完全图**: 无向完全图的边数可以通过组合公式计算，即n(n-1)/2，而有向完全图的弧数则是n(n-1)。无向完全图和有向完全图都是稠密图，表示它们具有较多的边或弧。 5. **稠密图与稀疏图**: 图的密度取决于边的数量，如果边数接近于最大可能数量，则为稠密图；反之，边数相对较少则为稀疏图。 6. **权(Weight)**: 在带权图（也称为网络）中，每条边或弧都被赋予了一个数值，这个数值通常表示距离、成本或其他相关度量。 7. **子图(Subgraph)**: 子图是原图的一个部分，它包含原图中的一部分顶点和边（或弧）。如果子图的顶点集合和边集合分别包含原图相应集合的子集，则认为它是原图的子图。 8. **邻接与关联**: 两个顶点vi和vj在图中是邻接的，如果它们通过边（无向图）或弧（有向图）相连。关联不仅包括边或弧本身，还指涉到关联顶点。 9. **顶点的度(Degree)**: 在无向图中，顶点的度是与其相邻的顶点数，而有向图则区分入度（入边数）和出度（出边数），表示顶点接受或发出的边的数量。 理解这些概念对于深入研究图论和应用数据结构至关重要，它们在算法设计、网络分析、社交网络模型等领域都有着广泛的应用。