绝对值方程的半光滑牛顿算法研究
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更新于2024-08-11
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"绝对值方程的一种新的半光滑牛顿法 (2013年)"
这篇论文发表于2013年的《中国工程数学》期刊，探讨了一种解决绝对值方程的新方法——半光滑牛顿法。绝对值方程在解决区间线性方程组以及线性互补问题中扮演着重要角色。线性互补问题是一个包含线性不等式约束的优化问题，它可以被转化为绝对值方程的形式，进而解决许多数学规划问题。
在论文中，作者提出了一种基于min-函数和FB-函数的半光滑牛顿算法来求解绝对值方程Ax - |X| = b，其中A是n阶实矩阵，b是常数向量，|X|表示X的元素的绝对值。这个新算法的独特之处在于，尽管涉及到非光滑的绝对值函数，但在每次迭代过程中，只需要求解一次线性方程组。
半光滑牛顿法是一种迭代方法，它利用了函数的局部光滑性质，即使在非光滑点也能有效应用。在本文提出的算法中，min-函数和FB-函数的非光滑特性被巧妙地处理，使得算法能够保持有效的计算效率。当矩阵[A-I, A+I]是正则的，即它和它的共轭矩阵都是可逆的，这个算法具有全局收敛性，并且能以有限步数收敛到绝对值方程的解。这意味着无论初始猜测值x0如何选择，只要满足矩阵条件，算法都能在有限次迭代后找到正确的解。
论文通过100个连续生成的随机实例验证了新算法的性能，每个实例的规模为n=1000。实验结果证实了算法的高效性和在大规模问题求解中的实用性。这些实证研究支持了新算法在实际应用中的潜在价值，特别是在处理大型绝对值方程时的优越性。
这篇论文为绝对值方程的求解提供了一个创新且高效的算法，为数学规划和相关领域的问题解决提供了新的工具。半光滑牛顿法不仅简化了迭代过程，而且在理论保证下确保了解的准确性，对于处理大规模的绝对值方程尤其有优势。
NO.l
Liu
Changhe
,
et
al:
A
New
Semi-smooth
Newton
Method
for
Absolute
Value
Equations
103
method
is
promising.
Some
words
about
our
notation:
the
concept
of
interval
matrix
arises from
the
linear
interval
equations[
叫.
Given two m x n real matrices: A =
(A
ij
)
and
互=
(A
j
)
,
an
interval
matrix
AI
:=
[A
，
互
1
=
{A:
A
三
A
三互}，
where
A
三互
refers
to
A
τ3
三互
η
for
each
i,
j.
A
1
is called regular if each
A
ε
A
1
is nonsingular,
and
it
is called singular
otherwise.
1 refers
to
the
identity
matrix
and
11
.
11
represents
the
Euclidean
norm. For
A
二
(A
j
)ε
ffi.
7
川
\denote
the
absolute
value of A
by
IAI
:=
(IA
川).
Let
ρ
(A)
be
the
spectral
radius
of
the
matrix
A. For a vector x, we use diag(x)
to
denote
a diagonal
matrix
correspondi
吨
to
x.
For
any
two vectors x
and
y,
min(x
, y)
denotes
the
vector
whose
i-th
is
min(xi'
如).
The
orthogonality
x
T
y = 0 is
denoted
by
x
-1
y.
We also use
the
notations
I
:=
{1
, 2, . . .
，
η}.
2
Semi-smooth
N
ewton
method
Let
φ
(x)
:=
Ax
-Ixl
-
b.
(2)
Then
,
the
AVE (1) is equivalent
to
the
non-smooth
equation
φ
(x)
二
o.
Mangasarian
and
Meyer[5] proved
that
the
AVE is equivalent
to
the
generalized
LCP:
O
三
(A
+
I)
x - b
-1
(A
-
I)
x -
b
主
o.
(3)
In
fact
,
by
simple
computation
, we have
φ
(x)
=
min
(F(x)
,
G(x))
,
(4)
where
F(x)
:=
(A
+
I)
x - b
and
G(x)
:=
(A
-
I)
x -
b.
Since
the
mi
山
num
function
min(
矶的
is
a C-function (see
[20
],
Definition
1.
5.1),
it
follows
that
φ
(x)
二
O
仁二
}O
三
F(x)
-1
G(x)
三
o.
At
the
same
time
,
the
AVE is equivalent
to
the
equation
φ
FB(X)
= 0, where
I
1J
F B (
Fl
( X
),
G 1 ( X ) ) \
φ
FB(X)
= I
飞
1J
FB(F
n
(x)
，
Gn(X)) }
with
1J
FB
being
the
Fischer-Burmeister
(FB) C-function:
1J
FB(
α
，
b)
=
.，fO}
士
b
2
一
(α
十
b)
，
(α
，
b)
ε
ffi.
2.
(5)
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