C++实现的梯形法求解定积分算法详解

"梯形法是求解定积分的一种数值积分方法，尤其适用于被积函数的原函数难以获得的情况。在计算定积分时，通常利用牛顿-莱布尼茨公式，但当找不到原函数时，我们可以采用梯形法。梯形法基于定积分的集合意义，即将不规则区域看作无限个宽度相等的梯形的面积和。通过将积分区间[a, b]划分为n等份，可以得到等分点xk，并定义步长h=(b-a)/n。每个小梯形的面积近似为(f(xk) + f(xk+1))/2 * h，将所有梯形面积相加得到的Tn是积分的近似值。递推公式为：Tn = (Tn-1 + f(xn) * h) / 2。通过不断细分，比较两次细分的面积差是否小于设定的误差阈值e，当满足条件时停止细分，此时的Tn即为积分的近似解。这个过程可以用C++或其他编程语言实现。" 在实际编程中，使用C++实现梯形法求解定积分，可以编写如下代码片段： ```cpp #include <iostream> #include <cmath> double f(double x) { // 这里定义被积函数f(x) return sin(x); } double trapezoidalRule(double a, double b, int n, double e) { double h = (b - a) / n; double sum = (f(a) + f(b)) / 2 * h; for (int k = 1; k < n; k++) { sum += f(a + k * h) * h; } double Tn = sum; double T2n = 2 * sum - f(a) * h / 2 - f(b) * h / 2; while (std::abs(T2n - Tn) > e) { Tn = T2n; n *= 2; h /= 2; T2n = 2 * Tn - f(a) * h / 2 - f(b) * h / 2; } return Tn; } int main() { double a = 0, b = 1; double e = 1e-6; int n = 1000; double integralApproximation = trapezoidalRule(a, b, n, e); std::cout << "The approximate value of the definite integral is: " << integralApproximation << std::endl; return 0; } ``` 这段代码首先定义了被积函数`f(x)`，然后实现了`trapezoidalRule`函数，该函数接受积分的下限a、上限b、初始细分数n以及误差阈值e，返回积分的近似值。在`main`函数中，设置初始参数并调用`trapezoidalRule`，最后输出积分的近似结果。 学习算法是提升编程技能的重要环节，本书《妙趣横生的算法（C++语言实现）》由胡浩等人编著，旨在通过C++语言解释和实现各种数据结构和算法。全书分为4篇，从基础数据结构到高级算法，再到算法实战，覆盖了从入门到进阶的广泛内容。对于算法初学者和有一定C++编程基础的人来说，这是一本很好的学习资料，同时也适合作为高校教材或程序员面试准备的参考书籍。