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首页概率论与数理统计:夏强刘金山版
"这是一本由夏强和刘金山主编的《概率论与数理统计》教材,属于同济大学数学系列教材和高等职业院校通识教育“十二五”规划教材。该书共十一章,分为概率论和数理统计两大部分,并在最后一章介绍了R软件的使用。教材内容严谨且通俗易懂,特别强调实际应用,旨在帮助非数学和非统计学专业的学生掌握概率论与数理统计的基础知识和现代统计方法。适合作为工科、理科、经济、管理和农林类专业的教材或参考书。" 在这本教材中,概率论部分涵盖了前五章,可能包括随机事件及其概率、条件概率、独立事件、随机变量、分布函数、期望值与方差等基础概念和理论。数理统计部分从第六章到第十章,可能会涉及抽样分布、参数估计、假设检验、回归分析、方差分析等核心内容。第十一章则简要介绍R软件,这是一款在数据分析和统计计算中广泛使用的工具,学生将学习如何利用R进行数据处理和统计分析。 教材的编写充分考虑了非数学背景学生的理解需求,力求通过清晰的表述和实例演示,使学生能够深入理解概率统计的基本思想和应用。考虑到现代科技,尤其是计算机和信息技术的快速发展,教材还强调了概率统计在经济、金融、保险、生物等多个领域的现代应用,使学生能够适应这些领域的实际问题。 此外,教材的编写基于作者多年的教学经验,对传统教材进行了改进,旨在提升学生的学习体验,帮助他们更好地掌握概率论与数理统计的理论和实际操作技能。这不仅对于高校学生的学习至关重要,也为科技人员和管理人员提供了有价值的参考资料。 这本教材是学习概率统计的优秀选择,不仅提供了扎实的理论基础,还注重实践应用,有助于培养学生的数据分析能力和解决实际问题的能力。
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P(B)
=
1
-
P(B)
=
1
-
C
4
6
C
1
2
C
1
2
C
1
2
C
1
2
C
4
12
=
17
33
.
在 例 1 3 2 中ꎬ 不能把事件 B 所含的样本点数计为 C
1
6
C
2
2
C
2
10
ꎬ 即先从 6 双鞋子中抽
取 1 双ꎬ 2 只全取ꎬ 再从剩下的鞋子中任取 2 只. 这是因为ꎬ 若设每双鞋子 标有 号码
1ꎬ 2ꎬ ꎬ 6ꎬ 则当先取到第 i 双鞋子的 2 只时ꎬ 后取的 2 只可能恰好为第 j 双鞋子的 2
只ꎬ 即恰好取到第 i 双和第 j 双ꎬ 而同时当先取到第 j 双鞋子的 2 只时ꎬ 后取的 2 只可能
恰好为第 i 双鞋子的 2 只ꎬ 也是取到第 i 双和第 j 双ꎬ 这与前者重复. 我们也可以利用求
互斥事件的和事件概率的方法直接求事件 B 的概率ꎬ 即
P(B)
=
P(A)
+
P(C)
=
C
2
6
C
2
2
C
2
5
C
1
2
C
1
2
C
4
12
+
C
2
6
C
2
2
C
2
2
C
4
12
=
17
33
ꎬ
其中 C 表示事件“恰好取到 2 双”.
例 1 3 3(盒子模型) 设有 n 个球ꎬ 每个球都等可能地落入 N 个盒子中的一个ꎬ 假设
n ≤ N. 求下列事件的概率.
A: 某指定的 n 个盒子中各落入一球ꎻ
B: 恰有 n 个盒子各落入一球ꎻ
C: 某个指定的盒子中落入 m 个球ꎻ
D: 恰好 n
-
1 个盒子里有球.
解 由于每个球都等可能地落入 N 个盒子中的一个ꎬ 按照乘法原理ꎬ n 个球共有 N
n
种落法. 把每种落法作为一个基本事件ꎬ 这是一个古典概型问题ꎬ 基本事件总数为 N
n
.
按照乘法原理ꎬ 事件 A 包含的基本事件数是 n!ꎬ 故
P(A)
=
n!
N
n
.
对事件 Bꎬ 从 N 个盒子中任选 n 个ꎬ 有 C
n
N
种选法ꎻ 选定 n 个盒子后ꎬ 每个盒子各落入
一球的方法为 n! 种. 因此事件 B 包含的基本事件数是 C
n
N
n!
=
P
n
N
ꎬ 故
P(B)
=
P
n
N
N
n
=
N( N
-
1)(N
-
n
+
1)
N
n
.
事件 B 的另一种分析方法是: n 个球落入 n 个盒子中ꎬ 每个盒子恰好落入一个球ꎬ 则
第 1 个球有 N 种落法ꎬ 第 2 个球有 N
-
1 种落法ꎬ ꎬ 第 n 个球有 N
-
n
+
1 种落法. 根据乘
法原理ꎬ 共有 N(N
-
1)(N
-
n
+
1) 种落法ꎬ 由此即得 B 的上述概率.
对事件 Cꎬ m 个球可以在 n 个球中任选ꎬ 共有 C
m
n
种选法. 其余 n
-
m 个球可以任意落入
另外的 N
-
1 个盒子中ꎬ 共有(N
-
1)
n
-
m
种落法. 所以ꎬ 事件 C 包含的基本事件个数是
C
m
n
(N
-
1)
n
-
m
. 故
P(C)
=
C
m
n
(N
-
1)
n
-
m
N
n
=
C
m
n
1
N
æ
è
ç
ö
ø
÷
m
1
-
1
N
æ
è
ç
ö
ø
÷
n
-
m
.
对事件 Dꎬ 注意到“n
-
1 个盒子里有球”ꎬ 意味着其中一个盒子中恰有 2 个球ꎬ 其余的
n
-
2 个盒子中各有一个球. 可先任取落入 2 个球的一个盒子ꎬ 有 N 种取法ꎬ 再任取 n
-
2 个
盒子ꎬ 有 C
n
-
2
N
-
1
种取法ꎬ 然后将球落进去ꎬ 落法有 C
2
n
(n
-
2)!
=
n!
2!
种ꎬ 故
01
第一章 随机事件及其概率
P(D)
=
NC
n
-
2
N
-
1
n!
2!
N
n
=
n! C
n
-
2
N
-
1
2N
n
-
1
.
下面我们用盒子模型讨论“生日问题”ꎬ 即 p
n
个人中至少有两个人生日相同的概率是
多少?
若把 n 个人看成是 n 个球ꎬ 将一年 365 天看成是 N
=
365 个盒子ꎬ 则“n 个人的生日全不
相同” 就相当于有 n(n ≤ N) 个盒子各有一球ꎬ 所以由例 1 3 3 中事件 B 的概率可知ꎬ p
n
个
人中至少有两个人生日相同的概率是
p
n
=
1
-
365(365
-
1)(365
-
n
+
1)
365
n
.
经计算ꎬ 可得表 1 3 中的概率.
表 1 3 n 个人中至少有两个人生日相同的概率
n 10 20 30 40 50 60
p
n
0 1169482 0 4114384 0 7063162 0 8912318 0 9703736 0 9941227
这个数值结果是相当惊人的ꎬ 说明 30 个以上人中至少有两个人同一天生的概率在 0 7
以上ꎬ 60 个人中至少有两个人同一天生的概率几乎等于 1.
例 1 3 4 某公司生产的 15 件产品中ꎬ 有 12 件正品ꎬ 3 件次品. 现将它们随机地分装
在 3 个箱中ꎬ 每箱 5 件. 记 A 为事件“每箱中恰有 1 件次品”ꎬ B 为事件“3 件次品都在同一箱
中”. 试求概率 P(A) 和 P(B).
解 由排列组合公式ꎬ 将 15 件产品装入 3 个箱中ꎬ 每箱 5 件ꎬ 共有
15!
5! 5! 5!
种装
法ꎬ 把 每 种 装 法 作 为 一 个 基 本 事 件ꎬ 这 是 一 个 古 典 概 型 问 题ꎬ 基 本 事 件 总 数
为
15!
5! 5! 5!
.
把 3 件次品分别装入 3 个箱中ꎬ 共有 3! 种装法. 对于每一种这样的装法ꎬ 把其余 12 件
正品平均装入 3 个箱中ꎬ 共有
12!
4! 4! 4!
种装法. 因此事件 A 的概率为
P(A)
=
3!
12!
4! 4! 4!
15!
5! 5! 5!
=
25
91
.
把 3 件次品装入1 个箱中ꎬ 共有3 种装法. 对于每一种这样的装法ꎬ 把其余12 件正品装入
3 个箱中ꎬ 其中 1 箱装 2 件ꎬ 其余 2 箱各装 5 件ꎬ 共有
12!
2! 5! 5!
种装法. 因此事件 B 的概率为
P(B)
=
3
12!
2! 5! 5!
15!
5! 5! 5!
=
6
91
.
例 1 3 5 设有一箱产品共有 100 件ꎬ 其中有 4 件次品ꎬ 其余均为正品. 求
(1) 从箱中任取 3 件ꎬ 取到的全是正品的概率.
(2) 从箱中任取 3 件ꎬ 取到恰有 2 件正品的概率.
解 设 A 为事件“3 件全为正品”ꎻ B 为事件“恰有 2 件正品”. 则
11
1 3 古典概率模型
(1) 由于抽样是从箱中任取 3 件ꎬ 故此时样本空间 Ω 的样本点数为 C
3
100
ꎬ 而 A 包含的
样本点数为 C
3
96
ꎬ 故
P(A)
=
C
3
96
C
3
100
=
0 883 611 6
(2) 该样本空间 Ω 的样本点数仍为 C
3
100
ꎬ B 包含的样本点数为 C
2
96
C
1
4
ꎬ 故
P(B)
=
C
2
96
C
1
4
C
3
100
=
0 112 801 5
注: 从例 1 3 5(2) 的解法中我们可以归纳出更一般的抽样模型. 设一箱子中共有 N 只
球ꎬ 其中有 M 只红球ꎬ 有 N
-
M 只白球ꎬ 若从该箱子中任取 n 只球ꎬ 则其中恰有 m 只红球的
概率(设 A
m
表示恰有 m 只红球的事件) 为
P(A
m
)
=
C
m
M
C
n
-
m
N
-
M
C
n
N
m
=
0ꎬ 1ꎬ 2ꎬ ꎬ rꎬ r
=
min(nꎬ M) (1 3 2)
上述概率称为超几何概率. 在“不放回抽样” 问题中经常需要用到该概率公式.
上述超几何概率还可以进一步推广. 设一箱子中共有 N 只球ꎬ 其中有 N
1
只红球、 N
2
只黄球、 N
3
只白球(N
=
N
1
+
N
2
+
N
3
)ꎬ 若从该箱子中任取 n 只球ꎬ 则 n 只球中恰有 n
1
只红
球、 n
2
只黄球、 n
3
只白球(n
=
n
1
+
n
2
+
n
3
) 的概率为
P(A)
=
C
n
1
N
1
C
n
2
N
2
C
n
3
N
3
C
n
N
. (1 3 3)
例 1 3 6(彩票问题) 一种福利彩票称为幸运 35 选 7ꎬ 即购买时从 01 ~ 35 这些数字
中任选 7 个号码ꎬ 开奖时从 01ꎬ 02ꎬ ꎬ 35 中不重复地取 7 个基本号码和 1 个特殊号码.
中各等奖的规则如下.
若 7 个基本号码全中ꎬ 则得一等奖ꎻ 若中 6 个基本号码和特殊号码ꎬ 则中二等奖ꎻ 若
中 6 个基本号码ꎬ 则中三等奖ꎻ 若中 5 个基本号码和特殊号码ꎬ 则中四等奖ꎻ 若中 5 个基
本号码ꎬ 则中五等奖ꎻ 若中 4 个基本号码和特殊号码ꎬ 则中六等奖ꎻ 若中 4 个基本号码ꎬ
或中 3 个基本号码和特殊号码ꎬ 则中七等奖.
下面求各等奖的中奖概率. 因为不重复地选取号码是一种不放回抽样ꎬ 按照几何概率
计算方法ꎬ 样本空间 Ω 中含有 C
7
35
个样本点. 我们把各等奖的抽取看成是从三类号码中抽
取: 第一类为 7 个基本号码ꎬ 第二类为 1 个特殊号码ꎬ 第三类为其余 27 个无用号码. 记 p
i
为第 i 等奖的中奖概率ꎬ 则由式(1 3 3) 可计算出各等奖的中奖概率如下.
p
1
=
C
7
7
C
0
1
C
0
27
C
7
35
=
0 149
×
10
-
6
ꎬ p
2
=
C
6
7
C
1
1
C
0
27
C
7
35
=
1 04
×
10
-
6
ꎬ
p
3
=
C
6
7
C
0
1
C
1
27
C
7
35
=
28 106
×
10
-
6
ꎬ p
4
=
C
5
7
C
1
1
C
1
27
C
7
35
=
84 318
×
10
-
6
ꎬ
p
5
=
C
5
7
C
0
1
C
2
27
C
7
35
=
1 096
×
10
-
3
ꎬ p
6
=
C
4
7
C
1
1
C
2
27
C
7
35
=
1 827
×
10
-
3
ꎬ
p
7
=
C
4
7
C
0
1
C
3
27
C
7
35
+
C
3
7
C
1
1
C
3
27
C
7
35
=
30 448
×
10
-
3
.
21
第一章 随机事件及其概率
若记 A 为事件“中奖”ꎬ A 为事件“不中奖”ꎬ 由上述概率可以得到
P(A)
=
p
1
+
p
2
+
+
p
7
=
0 033 485ꎬ P(A)
=
1
-
P(A)
=
0 966 515.
这说明ꎬ 一百个人中约有 3 人中奖ꎬ 而中头等奖的概率只有 0 149
×
10
-
6
ꎬ 即两千万个人中
约有 3 个人中头等奖. 未中奖者占绝大多数ꎬ 即大约有 96 65% 的购彩票者不中奖.
1 3 2 几何概型
古典概型考虑的是有限等可能结果的随机试验的概率模型. 现在我们考虑样本空间为
一线段、 平面区域或空间立体的等可能随机试验的概率模型ꎬ 称为几何概型.
如果一个试验具有以下两个特点:
(1) 样本空间 Ω 是一个可以度量的几何区域(如线段、 平面、 立体)ꎬ 其度量( 长度、
面积、 体积) 记为 μ( Ω).
(2) 向区域 Ω 上随机投掷一点ꎬ 这里“随机投掷一点” 的含义是指该点落入 Ω 内任一
部分区域 A 的可能性只与区域 A 的度量 μ(A) 成比例ꎬ 而与区域 A 的位置和形状无关.
那么ꎬ 事件 A 的概率由下式计算ꎬ 即
P(A)
=
μ(A)
μ(Ω)
(1 3 4)
例 1 3 7 在一个均匀陀螺的圆周上均匀地刻上(0ꎬ 4] 上的所有实数ꎬ 在一桌面上旋
转该陀螺ꎬ 求陀螺停下后ꎬ 圆周与桌面的接触点位于区间[0 5ꎬ 1] 的概率.
解 由于陀螺及刻度的均匀性ꎬ 它停下来时其圆周上的各点与桌面接触的可能性相
等. 根据题意ꎬ 这是一个几何概型问题ꎬ 故
P(A)
=
区间[0 5ꎬ 1] 的长度
区间(0ꎬ 4] 的长度
=
1 / 2
4
=
1
8
.
例 1 3 8 (会面问题) 甲、 乙两人相约在 7 点到 8 点之间在某地会面ꎬ 先到者等候另
一人 20 分钟ꎬ 过时就离开. 如果每个人在指定的一小时内任意时刻到达ꎬ 试计算二人能够
会面的概率.
图 1 7 会面问题
解 记 7 点为计算时刻的 0 时ꎬ 以分钟为单位ꎬ xꎬ y
分别为甲、 乙到达指定地点的时刻ꎬ 则样本空间为 Ω
=
{(xꎬ y) 0 ≤ x ≤ 60ꎬ 0 ≤ y ≤ 60}. 设 A 为事件“两人能
会面”ꎬ 则显然有 A
=
{(xꎬ y) (xꎬ y) ∈ Ωꎬ x
-
y ≤
20}ꎬ 即图 1 7 中阴影部分区域. 根据题意ꎬ 这是一个几
何概型问题ꎬ 二人能会面的概率为
P(A)
=
μ(A)
μ(Ω)
=
60
2
-
40
2
60
2
=
5
9
.
几何概型的一个著名例子是蒲丰(Buffon) 投针试验.
通过这个试验还可以求圆周率 π 的近似值.
例 1 3 9(蒲丰投针试验) 在平面上画有平行线束ꎬ 两条相邻的平行线的距离均为
2aꎬ 向平面随机投掷一枚长度为 2l 的针ꎬ 假定 0 < l < a. 求针与平行线相交的概率 p.
解 设 M 为针的中点ꎬ Y 为 M 与最近平行线的距离ꎬ θ 为针与平行线的交角( 见图
31
1 3 古典概率模型
1 8)ꎬ 则点(Yꎬ θ)“均匀地” 散布在矩形 Ω
=
{(yꎬ θ) 0 ≤ y ≤ aꎬ 0 ≤ θ ≤ π} 上. 不难知
道针与平行线相交的充要条件是 Y ≤ lsinθꎬ 即(Yꎬ θ) 落在图 1 9 中的阴影区域上ꎬ 故针与
平行线相交的概率 p 为阴影区域面积与矩形面积之比ꎬ 即
p
=
1
πa
∫
π
0
lsinθdθ
=
2l
πa
.
图 1 8 蒲丰投针 图 1 9 投影区域
1 4 条件概率
1 4 1 条件概率定义
在实际问题中ꎬ 除了要考虑某事件 A 发生的概率 P(A) 外ꎬ 有时还要考虑事件 B 发生
条件下事件 A 发生的概率. 一般情况下ꎬ 后者的概率与前者不同. 为了区别起见ꎬ 我们把
后者的概率称为条件概率ꎬ 记为 P(A B)ꎬ 读作事件 B 发生条件下事件 A 的条件概率. 条
件概率是概率论中的一个重要概念ꎬ 由它可产生三个非常有用的公式ꎬ 即乘法公式、 全概
率公式和贝叶斯公式.
为了引进条件概率概念ꎬ 我们先看一个例子.
例 1 4 1 考虑有两个孩子的家庭. 样本空间 Ω
=
{( 男、 男)ꎬ ( 男、 女)ꎬ ( 女、
男)ꎬ (女、 女)}. 设 A 为事件“家庭有女孩”ꎬ B 为事件“家庭有男孩”. 求已知家庭有男孩
条件下家庭有女孩的条件概率.
解 显然ꎬ 问题是求事件 B 发生的条件下事件 A 发生的概率. 此时ꎬ A
=
{( 男、
女)ꎬ (女、 男)ꎬ (女、 女)} ꎬ B
=
{(男、 男)ꎬ (男、 女)ꎬ (女、 男) }. 已知事件 B 已经
发生了ꎬ 有了这个信息ꎬ 就知道有两个女孩的家庭在此种情况下不可能出现. 因此ꎬ 在 B
发生条件下样本空间可视为 B
=
{( 男、 男)ꎬ ( 男、 女)ꎬ (女、 男)} ꎬ 而事件 A 中属于这
个样本空间的点有 2 个ꎬ 于是由古典概率方法可得 A 的条件概率
P(A B)
=
2
3
.
另外ꎬ 易见
P(A)
=
3
4
ꎬ P(B)
=
3
4
ꎬ P(AB)
=
2
4
ꎬ P(A B)
=
2
3
=
2 / 4
3 / 4
ꎬ
41
第一章 随机事件及其概率
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