通用公理化数字表面结构：统一邻接关系下的拓扑结果

在通用数字拓扑结构的基本公理——离散模型与基本结果的研究中，作者们探讨了一种新的方法，即通过公理化的形式定义"良好的数字空间"，以统一处理不同维度的数字拓扑问题。传统的数字拓扑学中，特别是对于二维和三维空间，如平面网格和胞元集，研究往往集中在特定的好邻接关系对，比如在二维中常见的Z2上的(4,8)和(8,4)邻接模式。这些邻接关系决定了许多拓扑性质的证明。 文章的焦点在于提出了一种通用的公理化数字表面结构（GADS，Generalized Axiomatic Digital Surface）的概念，这是一种公理化定义的离散结构，旨在抽象地模拟欧几里得平面以及其他表面。GADS的设计目的是为了包容所有之前在平面网格和边界表面上使用的良好邻接关系对，从而提供一个框架，使得数字拓扑的结果可以作为单一的定理表述和证明，而无需分别对待每一对邻接关系。 本文的贡献包括了GADS的基本概念，如同伦路径和交叉数的定义，以及对于这些概念在离散平面GADS中的应用。此外，文中还展示了如何在GADS的框架下重新证明经典的约旦曲线定理，这标志着对于数字拓扑学的一次重大进步，因为它允许对不同维度和邻接关系的表面进行统一且深入的分析。 这项工作不仅提升了数字拓扑学的理论基础，还为未来的算法设计、图像处理、计算机图形学等领域的研究提供了强大的工具。通过公理化的方法，研究人员能够更系统地探索和扩展数字空间的性质，推动了该领域的发展。