Rutgers ECE Algorithms Midterm 2 解答与分析

"这是一份来自Rutgers大学ECE学院的算法课程中期考试的解决方案，主要涵盖了堆排序和二叉搜索树的概念及其应用。" 在这份中期考试中，涉及了两个关键的算法知识点：堆排序（Heapsort）和二叉搜索树（Binary Search Tree, BST）。 1. 堆排序（Heapsort）： 问题1a) 代码实现的是堆排序算法。堆排序是一种基于比较的排序算法，通过构建最大堆（Max Heap）来实现。在这个过程中，数组元素被逐步添加到最大堆中，然后将堆顶的最大元素与末尾元素交换，再重新调整堆，直到所有元素都已排序。 问题1b) 堆排序的最坏情况运行时间是O(N log N)。在构建最大堆的过程中，需要对N个元素进行大约2N次操作（每个元素向根移动一次），而主循环中每次删除最大元素并调整堆的时间复杂度为O(log N)，这个过程需要执行N次。因此总的时间复杂度是O(N log N)。 问题1c) 堆排序不是稳定的排序算法。在交换堆顶元素和末尾元素时，相等的元素可能会改变原有的相对顺序，所以它不具备稳定性。 2. 二叉搜索树（Binary Search Tree, BST）： 问题2) 针对给定的二叉搜索树，我们可以分析如下： 问题2a) 在二叉搜索树中，floor(x)是指小于或等于x的最大键。对于值7，它的floor是5，因为5是小于7的节点中最大的一个。 问题2b) ceiling(x)则是指大于或等于x的最小键。对于值17，其ceiling是18，因为18是大于17的节点中最小的一个。 问题2c) 对于二叉搜索树进行中序遍历，会按照升序打印出所有节点的值。给定的BST中，中序遍历顺序为：1, 3, 5, 8, 13, 13, 18, 19, 24。因此，输出结果是这些数字按照升序排列的序列。 通过这些问题，我们可以看出堆排序和二叉搜索树在实际问题中的应用，并理解它们的基本操作和特性。堆排序用于高效地排序数据，而二叉搜索树则提供了快速查找、插入和删除操作的能力。