"该资源是一份关于计算信道容量及信息论相关问题的应用手册,主要涉及信道容量的计算、编码设计以及信息量的衡量。其中包含了解答一系列信息论问题的实际示例,如利用比较天平找出假币、扔骰子的信息量计算以及根据已知条件提问获取信息量的分析。"
在信息论中,信道容量\( C \)是一个关键概念,它定义了一个无噪声信道能传输的最大信息速率,单位通常是比特/秒或者比特/码符号。在给定的问题中,计算信道容量\( C \)是基于对称信道的特性,其中每个输入符号对应于相同的输出符号的概率。对于一个特定的对称信道,其信道容量\( C \)可以通过香农熵公式计算,即\( C = H(r) \),其中\( H(r) \)是信道输入的熵。
在第二个问题中,设计了一个码长为2的重复码,目的是提高信息传输的可靠性。二次重复码将原始信息码字重复两次,如00、11等,这样做的好处是可以通过最大似然译码准则降低错误概率。最大似然译码是一种常见的解码策略,它选择最有可能生成观测到的输出序列的输入序列作为译码结果。在这种情况下,输出有25种可能的情况,通过对所有可能的解码路径计算错误概率,可以得到译码器输出端的平均错误概率\( EP \)。
接下来,问题探讨了是否存在一个码长为2的码,使得错误概率\( P_e \)在不同输入条件下保持恒定。这实际上是在寻找一个平衡的码,如果能找到这样的码,意味着不论输入是什么,错误概率都相同。
在延伸问题中,通过信息论的视角来看待解决实际问题,如找假币。这里提到,至少需要称量三次天平来确定12枚硬币中哪一枚是假币。这个问题中,每次天平的使用消除了部分不确定性,从而计算出需要的称量次数。
信息量是另一个核心概念,它表示事件发生的不确定性。在掷骰子的例子中,信息量是基于事件发生的概率来计算的。信息量越大,表示事件越不可能发生,不确定性越高。同样,通过计算在不同已知条件下的信息量,我们可以理解在不同情境下获取信息的价值。
最后,询问关于日期的问题展示了信息增益的概念。在未知今天是星期几的情况下询问明天是星期几,答案提供了大量的信息,因为有七种可能的结果。而在已知今天是星期四的情况下提问,答案中的信息量相对较少,因为只剩下两种可能的结果。
这份应用手册深入浅出地介绍了信息论的基本原理和应用,包括信道容量的计算、编码设计以及信息量的量化,为理解和应用信息论提供了一个实用的框架。