清华大学博士主讲：三维空间刚体运动与旋转矩阵、四元数详解

本资源主要围绕“第二讲：三维空间的刚体运动”展开，由清华大学自动控制与工程博士高翔主讲，针对计算机视觉领域的SLAM（Simultaneous Localization and Mapping，同时定位与建图）技术深入探讨刚体在三维空间中的运动描述。课程内容涉及以下几个关键知识点： 1. **点与坐标系**： - 在二维和三维空间中，点通常通过坐标系来定义，二维情况用两个坐标加旋转角表示，三维则涉及到三维坐标和三个轴的旋转。 - SLAM中，固定的世界坐标系、移动的机器人坐标系以及传感器坐标系的存在，使得理解和转换坐标变得复杂。 2. **旋转矩阵**： - 旋转矩阵用来描述坐标系之间的旋转，一次旋转会导致坐标系旋转，向量在旋转后的坐标变化可以通过矩阵乘法得出。 - 旋转矩阵可以表达平移和旋转的复合运动，但齐次坐标和变换矩阵的引入解决了复合运动表达的不便。 3. **旋转向量和欧拉角**： - 旋转矩阵虽然直观但参数较多，旋转向量（或角轴）和欧拉角是更简洁的表示方式，分别只包含三个量，其中旋转向量通过罗德里格斯公式与旋转矩阵建立联系。 - 欧拉角将旋转分解为沿三个轴的独立转动，常用Z-Y-X顺序，但要注意轴的选择可能影响结果，因为轴可能是定轴或动轴，顺序也可能影响旋转的表示。 4. **特殊欧氏群SE(3)**： - 变换矩阵的集合形成了特殊欧氏群SE(3)，它包括所有同时包含旋转和平移的操作。齐次坐标是SE(3)的一种常见形式，乘以非零常数仍保持相同的坐标表示。 5. **实践部分：Eigen 库**： - Eigen 是一个C++库，其Geometry模块提供了强大的矩阵运算支持，包括四元数（Quaternion）等刚体运动描述。Eigen的高效优化使其在实际项目中广泛应用，但使用方法有特定技巧，将在实际程序中介绍。 综上，本课程着重于理解刚体运动的数学描述，并通过实例演示如何在实际应用中利用矩阵、旋转向量、欧拉角以及Eigen库来处理三维空间的刚体运动，对于SLAM中坐标变换和姿态估计有重要意义。