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山东科技大学随机过程考试真题及答案详解
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更新于2024-06-26
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本资源主要包含了山东科技大学2011-2012学年第二学期研究生《随机过程》课程的考试真题及部分答案。考试分为A卷和B卷,涵盖了填空题和计算与证明题。 在填空题部分,涉及的知识点包括: 1. 随机过程的基本概念,如随机变量的分布函数与其方差函数、自相关函数的关系,以及二维随机变量的分布函数的求解。 2. Wiener-Einstein过程的性质,如期望、方差和特定时刻的值。 3. 马氏链的转移概率及其应用,如一步转移概率矩阵的计算,以及从一个状态到另一个状态的长期行为分析。 4. 平稳增量过程的特征,如自相关函数的表达,以及特定条件下的平稳分布。 5. 随机过程的特性,如随机过程的均值函数和相关函数,以及它们与平稳性的关系。 计算证明题部分则更为深入,要求学生运用随机过程的理论知识解决实际问题: 1. 计算旅游者花费的数学期望和方差,涉及到随机变量序列的数学期望和方差的计算。 2. 对于一个马尔科夫链,分析其遍历性、周期性和非常态状态,利用状态转移矩阵和平稳分布的概念进行推导。 3. 证明随机过程的独立增量性质,通过状态空间的定义和性质来阐述。 4. 证明一个随机过程是否为正态过程,涉及正态随机变量的线性组合和分布收敛性。 5. 对于一个平稳过程,验证其均值函数和相关函数,并讨论其各态历经性。 这份真题和答案对于学习和复习随机过程课程的学生来说,提供了重要的实践和理论检验机会,同时也展示了随机过程在实际问题中的应用。
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0 2 / 3 1/ 3 0 0 0
1/ 4 0 3/ 4 0 0 0
1/ 2 1/ 2 0 0 0 0
0 0 1/ 2 0 1/ 2 0
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 2 / 3 1/ 3
P
æ ö
ç ÷
ç ÷
ç ÷
=
ç ÷
ç ÷
ç ÷
ç ÷
ç ÷
è ø
,
(1)判断各状态的常返性和周期性,常返的状态要指出是否为正常返的或零常返;
(2)将状态空间
I
分解为非常返集和基本常返闭集之和;
(3)求该马氏链的子链及子链的平稳分布.
3.(1)设
{ ( ), 0}X t t ³
是正态过程,记
( ) ( ) ( 1)Y t X t X t= + +
,证明
{ ( ), 0}Y t t ³
是正态过程;
(2)设
{ , 0,1, }
n
X n = L
是相互独立量的随机变量序列,证明
1
{ , 1, 2, }
n n n
Y X X n
-
= + = L
是 Markov
过程.
4.(1) 设随机时间序列
n
X X¾ ¾ ¾®
均方
,
n
Y Y¾ ¾ ¾®
均方
,证明
n n
X Y X Y
a b a b
+ ¾ ¾ ¾® +
均方
;
(2) 设
{ ( ), 0}X t t ³
均方可导,
( ) ( )m t EX t=
,证明均值函数
( )m t
可微,且
( ) ( )m t EX t
¢ ¢
=
.
5. 设随机过程
( ) sin cos , 0X t A t B t t= + ³
,其中
,A B
独立且具有共同的分布密度:
1
, [ 1,1]
( )
2
0, [ 1,1]
x
f x
x
ì
Î -
ï
=
í
ï
Ï -
î
(1) 验证
{ }
( ), 0X t t ³
是一个平稳过程;
(2)
{ }
( ), 0X t t ³
是否具有均值的各态遍历性?若具有,试证明之。
山东科技大学 2013—2014 学年第二学期电气与自动化学院
硕士研究生 13 班《随机过程》考试试题答案
三、填空题(每空 2 分,共 30 分)
1.
2
2
, 0,1, 2,
!
k
e k
k
-
= L
,
1
1
, 0,1, 2,
!
e k
k
-
= L
,9; 2. 4,
2
8
1
2 2
x
e
p
-
,
1
2
; 3.
9
16
,
5
12
,
3
5
;
4. 0,
1
6
,
2
6
-
; 5. 1, 1,
3
2
四、 计算与证明题(3 题 10 分,1、2、4、5 题每题 15 分,共 70 分)
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第 11 页 共 60 页
1. 解:设
( )X n
为商场从第
n
个购买者手中赢得的利润,购买三星、苹果、HTC、联想和小米智能手机
的利润分别为 2000 元、3000 元、1000 元、500 元、600 元, 得到
{ ( ) 2000} 0.3;
{ ( ) 3000}= { ( ) 500}= { ( ) 600} 0.2;
{ ( ) 1000} 0.1
P X n
P X n P X n P X n
P X n
= =
= = = =
= =
………………………..3 分
又设在
[0, ]t
时间内购买人数为
( )N t
,由题意在
[0, ]t
内总利润为
( )
1
( ) ( )
N t
n
Y t X n
=
=
å
, ……….………………………..………..5 分
因此,商场 1 个月内所获总利润的数学期望和方差分别为
(30) (30) (1)
(30 30) [2000 0.3 (3000 500 600) 0.2 1000 0.1] 13.68
EY EN EX= ×
= ´ ´ ´ + + + ´ + ´ = (万元)
( )
2
2 2 2 2 2
(30) (30) (1)
(30 30) [2000 0.3 (3000 500 600 ) 0.2 1000 0.1]
5.385
DY EN E X= ×
= ´ ´ ´ + + + ´ + ´
» (万元)
…….…………..7 分
2. 解: (1)状态 4 是非常返的,状态 1、2、3、5、6 均为周期为 1 的正常返态。
.........................................................................................................................5 分
(2)对常返态,由公式
{ : , }
i
C k i k k I= ® " Î
可得基本常返闭集为
{1, 2,3}
和
{5, 6}
,所以状态空间
I
可分解为
{4} {1, 2,3} {5, 6}I = U U
。...............................................................................................5 分
(3) 由
{1, 2,3}
组成的子链,一步部转移概率矩阵为
0 2 3 1 3
1 4 0 3 4
1 2 1 2 0
æ ö
ç ÷
ç ÷
ç ÷
è ø
,由
( ) ( )
1 2 3 1 2 3
0 2 3 1 3
, , 1 4 0 3 4 , ,
1 2 1 2 0
p p p p p p
æ ö
ç ÷
=
ç ÷
ç ÷
è ø
及
1 2 3
1
p p p
+ + =
得平稳分布
1 2 3
3 4
,
11 11
p p p
= = =
。
由
{5, 6}
组成的子链,一步部转移概率矩阵为
0 1
2 3 1 3
æ ö
ç ÷
è ø
,由
( ) ( )
5 6 5 6
0 1
, ,
2 3 1 3
p p p p
æ ö
=
ç ÷
è ø
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及
5 6
1
p p
+ =
得平稳分布
5 6
2 3
,
5 5
p p
= =
。
3. 证明:(1)对任意
n
及
1 2
, , , 0
n
t t t ³L
, 由于
{ ( ), 0}X t t ³
是正态过程,故
1 1 2 2
1 1 1 1
( ) ( ) ( )
( ) ( 1) ( ) ( 1)
n n
n n n n
a Y t a Y t a Y t
a X t a X t a X t a X t
+ + +
= + + + + + +
L
L
为正态变量,因此
{ ( ), 0}Y t t ³
是正态过程。...........................................................................................6 分
( 2 ) 因 为 对 任 意
n
及
1 2 n
i i i n< < < <L
, 由
{ , 0,1, }
n
X n = L
相 互 独 立 , 知
{ }
n
Y y£
与
1 1 1 1
{ , , }
m m
i i i i
Y y Y y
- -
= =L
独立,所以
1 1 1 1
{ | , , , } { | }
m m m m m m
n i i i i i i n i i
P Y y Y y Y y Y y P Y y Y y
- -
£ = = = = £ =L
故
1
{ , 1, 2, }
n n n
Y X X n
-
= + = L
是 Markov 过程。...............................................................................4 分
4. 证明:(1) 由三角不等式,得
| | | | 0
n n n n
X Y X Y X X Y Y
a b a b a b
+ - - £ - + - ®
即
n n
X Y X Y
a b a b
+ ¾ ¾ ¾® +
均方
................................................................................................................7 分
(2) 由均方导数的定义
0
( ) ( )
( ) lim
h
X t h X h
X t
h
®
+ -
¢
=
,于是由均方收敛的性质,得
0 0
0
( ) ( ) ( ) ( )
lim lim
( ) ( )
lim ( )
h h
h
m t h m h X t h X h
E
h h
X t h X h
E EX t
h
® ®
®
+ - + -
=
+ -
¢
= =
故
0
( ) ( )
lim
h
m t h m h
h
®
+ -
存在,且
0
( ) ( )
( ) lim ( )
h
m t h m h
m t EX t
h
®
+ -
¢ ¢
= =
。.......................................8 分.
5. 解:(1) 因为
1
1
0
2
x
EA EB dx
-
= = =
ò
,
2
1
2 2
1
1
2 3
x
EA EB dx
-
= = =
ò
均值函数
( ) sin cos 0
X
EX t t EA t EB
m
= + = =
=常数
相关函数
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