大规模Sylvester方程的块Krylov子空间求解法：低秩近似与有效性验证

本文主要探讨了一类Krylov子空间方法在解决大规模Sylvester方程(AX + XB = EFT)中的应用，特别关注于当矩阵A和B规模巨大且右侧向量的秩极小时，如何有效地求得精确的低秩近似解。Sylvester方程在控制理论、通信理论、模型降解问题等领域具有广泛的应用。矩阵方程(1)不仅与矩阵微分Riccati方程的数值解相关，还涉及去耦技术和图像修复等技术。 作者张晓东和黄光鑫针对这种情况，提出了一个针对块Krylov子空间的求解策略，这种方法适用于矩阵A和B均为稳定的，即所有特征值位于开左半复平面上的情况。在稳定矩阵的条件下，该方程存在唯一解，可以通过积分形式表达。然而，如果矩阵不稳定，通常需要采取其他途径处理，当前对此类问题的成熟解法尚不完善。 对于较大的稳定矩阵A和B，尤其是当其中一个矩阵是中型或大型稀疏矩阵时，传统的Hessenberg-Schur方法或者Bartels-Stewart算法可能不再适用，因为它们要求将矩阵转化为特定形式。本文提出的块Krylov子空间方法在处理这类大规模问题时显示出有效性，通过理论推导和数值实例验证了其优越性，为实际应用提供了新的解决方案。 这篇论文的主要贡献在于提供了一种适合大规模Sylvester方程求解的方法，尤其是在矩阵规模巨大且问题具有低秩特性的情况下，这种方法展示了其在计算效率和精度上的优势，对于实际工程问题的求解具有重要的指导意义。