概率统计B试题答案解析：样本容量与精度的关系与概率检验

本篇文档是上海大学2014-2015学年冬季学期概率论与数理统计（B）课程的期末考试A卷试题及其部分答案和评分参考。主要涉及以下几个知识点： 1. **事件概率关系**：题目1指出，对于满足条件的任意事件A和B，P(A) ≤ P(A ∪ B)不一定成立，这表明了事件的概率不等式并非总是成立，只有在事件A包含于事件B时才成立。 2. **指数分布特性**：题目2中，如果随机变量X服从指数分布X ~ λe，当t > s时，确实有P(X > t + s) = P(X > t) + P(X > s)，这是指数分布的性质，即事件的累积概率函数具有记忆性。 3. **独立随机变量和联合分布**：题目3验证了两个独立随机变量的线性组合，如果X ~ (2, b), Y ~ (5, b), 则Y = 3X + 2Y 的联合分布是Y ~ (5 + 3^2 * 2, b * (1 + 3^2))，即Y ~ (11, 5b)。 4. **参数估计**：第四题强调了在进行参数估计时，增大样本容量通常可以提高置信度和估计精度，这是因为更大的样本能提供更多的信息，使得估计更加稳定和可靠。 5. **假设检验中的错误类型**：题目5讨论了假设检验中的两类错误，第一类错误（Type I Error）是指拒绝原假设而实际上原假设是正确的，即误判。这里提到的概率为犯第一类错误的概率，它通常用显著性水平α来衡量。 6. **概率与期望值的关系**：填空题涉及到概率与期望值的计算，例如计算联合分布的期望值和方差，以及随机变量之间关系的表达。 7. **随机球放入盒子问题**：通过计算，3个球随机放入10个盒子，没有球的盒子的数学期望等于10乘以(1/10)^3，即0.00729。 8. **样本均值的联合分布和F检验**：当两个独立正态总体的样本均值相加时，得到的统计量F遵循自由度为(1, 9)的F分布。题目的第五部分提到了F分布与上侧分位点的关系，但错误地认为F的分位点与第一类错误的概率满足特定关系，这是错误的，因为它们之间的关系应该是1 - α。 这些知识点涵盖了概率论与数理统计的基本概念、随机变量的运算、参数估计的原理、假设检验的误差理解以及概率计算技巧。通过解答这些问题，学生可以巩固和应用课堂上学习的理论知识，并检验其理解和应用能力。