分支限界法求解单源最短路径

"算法课设 单源最短路径" 单源最短路径问题是一个经典的图论问题，旨在找出从图中某一点（源点）到其他所有点的最短路径。这个问题广泛应用于网络路由、交通规划等领域。在这个课程设计中，采用分支限界法来求解，特别地，使用了优先队列式分支限界法，这是解决这类问题的一种高效策略。 1.1.1 问题描述 问题的核心在于给定一个有向图G，其中每条边都附带有非负权重。任务是找到从源顶点s到目标顶点t的最短路径。在这个过程中，使用一个极小堆来存储活结点表，堆中的优先级是结点所对应的当前路径长度。算法的执行始于源顶点s，接着不断扩展节点，每次选取当前路径长度最小的节点进行处理，直到找到最短路径或者遍历完所有可能的路径。 1.1.2 基本要求 设计的程序需满足以下条件： - 用户可自定义结点数量。 - 能够解决从任意结点到其他所有结点的单源最短路径问题。 - 输出每个结点的前驱结点，以便重建最短路径。 - 显示源结点到每个结点的最短路径长度。 - 输出源结点到目标结点的最短路径。 - 记录并输出算法的执行时间，以评估效率。 1.2 题目分析 解空间树的概念用于表示所有可能的路径，分支限界法通过广度优先搜索子集树来寻找最短路径。与回溯法相比，分支限界法更注重效率，使用优先队列（这里具体是极小堆）来确保总是优先处理当前最优解的候选节点。在实际实现中，通常使用邻接矩阵来表示有向图，并通过两个数组dist和prev分别存储从源点到各点的最短距离和前驱结点信息。 1.2.1 解空间树 解空间树是一种可视化工具，用于表示所有可能的解的结构。在单源最短路径问题中，树的每个节点代表图中一个结点的可能状态，而边则表示从一个状态转移到另一个状态的路径。 1.2.2 实验步骤 算法执行步骤包括： 1. 初始化：设置源点s，创建一个空的极小堆，将源点加入堆。 2. 扩展：从堆中取出当前路长最小的节点，检查其所有邻居。 3. 更新：若发现更短路径，更新距离信息并将新节点加入堆。 4. 循环：重复步骤2和3，直到堆为空，此时已遍历所有可能路径。 2.1 优先队列式分支限界法 在这一部分，将详细实现优先队列式分支限界法，通过最小堆类实现对结点的管理和操作，包括插入和删除方法。 2.2 最小堆类 最小堆是一种数据结构，满足堆的性质，即父节点的值不大于其子节点的值。在这个场景下，最小堆用于保持结点按路径长度从小到大排序。 2.3 最小堆的插入方法 当需要将新结点插入堆中时，要确保堆的性质保持不变，因此可能需要调整堆的结构。 2.4 最小堆的删除方法 删除堆顶元素（当前路长最小的结点）同样需要维护堆的性质，可能涉及多个结点的位置交换。 3. 运行测试 这部分会展示程序在不同输入下的运行结果，包括最短路径、前驱结点、路径长度等信息，以及算法的运行时间。 4. 总结 最后，会对整个设计过程进行总结，包括遇到的挑战、解决方案以及算法的性能评估。 通过以上步骤，学生能够深入理解单源最短路径问题及其分支限界法的解决方案，并通过编程实践提高解决问题的能力。