Choquard方程解的存在性：Hardy-Littlewood-Sobolev临界指数与不定线性项

"该文章由王玲和王非之撰写，探讨了带Hardy-Littlewood-Sobolev临界指数项和不定线性项的Choquard方程的解的存在性。研究的方程涉及N维空间中的拉普拉斯算子、势场函数V(x)、空间依赖的系数K(x)以及次临界增长函数g(x,u)。文章通过变分方法证明了方程非平凡解的存在，并设定了关于V(x)，K(x)和g(x,u)的一系列条件。" 本文主要关注的是一个在高维空间RN（N≥3）中的线性Choquard方程，它包含了一个与Hardy-Littlewood-Sobolev不等式相关的临界指数。该方程的结构为： \[ -\Delta u + V(x)u = K(x)\left(\int_{\mathbb{R}^{N}}\frac{|u|^{2^{*}_{\mu}}}{|x-y|^{\mu}}dy\right)|u|^{2^{*}_{\mu}-2}u + g(x,u) \] 其中，\( 2^{*}_{\mu} \)是Hardy-Littlewood-Sobolev不等式的临界指数，\( \mu \)满足\( 0<\mu<N \)。V(x)是一个连续函数，其谱在L2(RN)中有负值；K(x)是一个正的有界函数；g(x,u)具有次临界增长特性。 为了确保方程解的存在性，作者设定了一系列关于函数的条件： - (V1): V(x)属于\( C(RN) \)并且在无穷远处的下界v∞大于零。 - (V2): \( W1(x)-v∞ \)在\( L^{\frac{N}{2}}(RN) \)中，\( W1(x) \)是V(x)的最大值，且谱\( \sigma(-\Delta+V(x)) \)在负实数部分有非空集。 - (K1): K(x)在0处取得最大值，且K(x)与x的距离成幂衰减。 - (G1): g(x,s)的绝对值小于或等于ω(x)s加上h(x)s的p-1次幂，其中ω(x)和h(x)在适当的空间中是有界的，2<p<\( 2^{*} \)。 - (G2): 对所有x，g(x,s)/s在s上一致趋于0。 - (G3): 函数G(x,s)=∫_0^sg(x,t)dt与s的乘积在x处的积分有非负下界。 这些条件保证了通过变分方法可以找到非平凡解。文章的关键词包括Choquard方程、Hardy-Littlewood-Sobolev不等式和不定问题，表明了研究的焦点在于利用这些理论工具来分析和解决方程。 该论文的贡献在于提供了在特定条件下解决一类复杂线性Choquard方程的方法，这对于理解物理和数学领域的某些现象，如非线性光学和量子力学，具有重要意义。