主成分分析法详解：特征值与贡献率

"主成分分析法是一种统计方法，用于降维和数据简化，尤其适用于具有大量变量的情况。这种方法通过转换原始变量来创建一组新的、互相独立的变量，即主成分，这些主成分能最大限度地保留原始数据的信息。主成分分析的核心在于特征值和主成分贡献率。 在主成分分析中，特征值反映了新变量（主成分）所解释的原始变量方差的比例。例如，表3.5.3给出了9个主成分的特征值，它们分别是5.043、1.746、0.997、0.610、0.339、0.172、0.079、0.014和0.0004。这些特征值的总和等于所有原始变量的方差，而特征值的大小决定了对应主成分的重要程度。贡献率则表示每个主成分对总体方差的贡献，比如第一个主成分的贡献率为56.029%，意味着它解释了数据方差的大约56%。 主成分分析的计算步骤如下： 1. 计算相关系数矩阵：这是理解变量间关系的基础，rij表示变量xi与xj的相关系数。 2. 求解特征值和特征向量：通过特征方程找到相关系数矩阵的特征值和对应的特征向量。特征值按照大小排序，大的特征值对应更重要的主成分。 3. 正交规范化：确保特征向量满足单位长度条件，即每个特征向量的模为1。 4. 计算主成分贡献率和累计贡献率：每个主成分的贡献率是其对应的特征值除以所有特征值之和，累计贡献率是所有主成分贡献率的累加，直至100%。 在实际应用中，通常选择那些贡献率高的前几个主成分，以减少数据的复杂性，同时尽可能保持大部分信息。例如，如果前两个主成分的累计贡献率达到80%以上，可能就足以代表原始数据的主要趋势。 主成分分析广泛应用于各种领域，如社会科学、金融分析、机器学习等，它可以用来识别变量间的结构，降低数据的维度，以及为后续的模型建立提供简洁的输入。在地理数据分析中，主成分分析可以帮助研究人员从多个复杂的地理变量中提取主要的地理模式，便于理解和解释。"