马尔可夫链与连续马氏过程：工程随机过程中的重要概念

本文档主要讨论的是线性系统和马尔可夫过程的相关概念，特别是针对线性时不变系统的特性以及马尔可夫链在随机过程中的重要地位。首先，对于线性系统，其输出函数Y(t)可以通过输入函数X(t)与系统的脉冲响应函数h(t)进行卷积得到，这体现了系统仅对过去输入的响应特性，即h(t)在t<0时为零。 在数学描述中，线性系统的基本性质通过拉普拉斯变换(Laplace Transform)表示，如式(4.40)，它展示了系统如何将输入信号转换为输出信号。马尔可夫过程则是一种特殊的随机过程，其特点是未来状态只依赖于当前状态，而与过去的状态无关，这被称为马尔可夫性质。 文档详细介绍了马尔可夫过程的分类，包括： 1. 参数连续、状态离散的马尔可夫链（连续的马尔可夫链或纯不连续马尔可夫过程）：在这种情况下，参数随时间变化连续，但状态是离散的，如在通信网络中模型的跳变行为。 2. 参数和状态都连续的马尔可夫过程（连续马氏过程）：这种过程的参数和状态都随时间连续变化，常用于模拟动态环境下的随机行为。 3. 马尔可夫链，这是本课程的重点，它是参数和状态都离散的情况，定义了随机过程的转移概率矩阵，描述了随机变量在不同状态之间的转移概率。一步转移概率矩阵是关键概念，它反映了在给定状态下转移到其他状态的概率关系。 4. 齐次马尔可夫链是指转移概率不随时间改变的马尔可夫链，这对于理解和预测随机过程的长期行为非常有用。 马尔可夫过程在多个学科领域有着广泛应用，如物理学、生物学、经济学等领域，它简化了复杂系统的行为分析，使得通过有限的信息就可以预测未来的状态。理解并掌握马尔可夫链的概念和特性，对于工程设计、数据分析和理论建模都具有重要意义。 本文档涵盖了线性系统与马尔可夫过程的基础理论，对于从事信号处理、控制理论、统计建模等领域的专业人士来说，是深入理解这两个概念不可或缺的参考资料。