2006
年
11
月
第
30
卷第
6
期
安徽大学学报(自然科学版)
Joumal
of
Anhui
University
Natural
Science
Edition
借正矩阵的判定
杨尚俊李小新
2
November
2006
Vo
l.
30
No.
6
(1.安徽大学数学与计算科学学院,安徽合肥
230039
;2.
池州师专数学系,安徽池州
247100)
摘
要:借正矩阵在矩阵论的理论和应用两方面都很重要,这种类型的矩阵常出现在最优化理论的
研究与应用中.近年来,许多文章都在研究判定一个已知的(实)对称矩阵是或不是借正矩阵、是或不是
严格借正矩阵的方法.本文侧重于研究判定对称矩阵是(严格)借正矩阵的充分条件及对称矩阵不是借
正矩阵的充分条件,并得出几个肯定性结果.与文
[7J
的方法相比较,我们的判定已知对称矩阵借
E
性的
方法要简单易行得多.
关键词:借正矩阵;对称矩阵;半正定矩阵;正定矩阵
;z
矩阵
;M
矩阵;特征值;特征向量
中图分类号
:015
1.
2
文献标识码
:A
文章编号:
1000
-
2162
(
2006
)
06
-
0001
-
03
文中用
A;::O
表示
A
是非负矩阵(向量)
,用
ρ
(A)
表示非负方阵
A
的谱半径.涉及谱半径的两个重
要性质是以
A)
是
A
的-个特征值并且有对应于它的一个非负特征向量、
p(A)
不大于
A
的任何-个矩
阵范数,例如,不大于
A
的最大列和范数
p(A)
运
11
A
111
=
max
j
白
"',
ι|α
ij
1.
如果
A
的对角元全为
1
,称
A
有单位对角线;女口果
A
的所有非对角元都不大于
0
,称它为
Z
矩阵
.z
矩阵
A
恒可写成
A
=
sl
-
P
,
其中
S
是-个正数,且
P
;::
O.
如果
p(P)
<
S
,则称
A
为(非奇异
)M
矩阵;女日果
p(P)
运
S
,则称
A
为一般
M
矩阵.
任何对称矩阵
A
的特征值(计算重数)全都是实数,这些实特征值中的最小者称为
A
的最小特征值.
众所周知
,
n
阶对称半正定矩阵
A
满足:对任意
n
维实向量
x
,
有
牛
rAx
二三
o
(1)
A
为对称正定矩阵时,
(1)式对任意非零向量
Z
成立严格不等式
;A
为非负矩阵时,若还有
z
为非负向量
时,则不等式(1)也成立.
定义
1[1]
对称矩阵
A
称为是借正的,如果
Vx
三
E
O
,
zTAz
注
o
(2)
借正矩阵
A
称为是严格借正的,如果式
(2)
成立等式当且仅当
x
=
O.
从定义立即得到:对称半正定矩阵、非负方阵、借正矩阵的正系数线性组合、借正矩阵的任何主子矩
阵都是借正的;对称正定矩阵、不可约非负方阵,特别是正方阵、严格借正矩阵与借正矩阵之和、严格借
正矩阵的任何主子矩阵都是严格借正的
;A
是(严格)借正矩阵当且仅当有正对称矩阵或置换矩阵
D
,
使
得
DTAD
是(严格)借正矩阵.借正矩阵的研究长期以来-直受到广泛关注
[j
-9]
文
[7J
给出判定己知对称矩阵借正性的一种算法,并提出能用他的算法判定给定对称矩阵是或不
是借正矩阵的充分条件的公开问题.受该文的影响与启发,本文研究判定对称矩阵是(严格)借正矩阵
的充分条件及判定对称矩阵不是借正矩阵的充分条件,并得出若干肯定性结果.与文
[7J
的方法相比
较,我们的判定己知对称矩阵借正性的方法要简单易行得多.
引理
1
[7 J
对称矩阵
A
的是(严格)借正矩阵,当且仅当它的每个子矩阵的任何(非)负特征值都没
有对应于它的正特征向量.
引理
2[
7]
每个对称矩阵
A
的二次型可写成两个二次型之和
Vx
二
E
O ,
zTAz=ZTAlZ+ZTA2Z(3)
其中
,
A
j
为
A
的有正对角线的最大主子矩阵
;A2
是把
A
的属于
A
j
的元全取为
O
之后所得的有零对角线
收稿日期
:2006
-
02
一
14
基金项目:国家自然科学基金资助项目(
60375010)
作者简介:杨尚俊(1
937
- )
,男,贵州贞丰人,安徽大学教授,硕士生导师.