高斯判别分析模型：理解与应用

"本文介绍了高斯判别分析（GDA）模型，这是一种用于连续特征的分类问题的机器学习方法。GDA模型假设特征遵循多变量正态分布，并使用伯努利分布来处理分类变量。文章还探讨了判别学习与生成学习的区别，以及如何使用贝叶斯规则进行预测。" 高斯判别分析（GDA）模型是一种在机器学习中常见的分类技术，特别是在处理连续性特征的情况下。当输入特征x是连续随机变量，且我们需要基于这些特征对y进行分类时，GDA提供了一种有效的建模方式。该模型假设每个类别y的特征x服从一个多元正态分布，即 \[ p(x|y) = \mathcal{N}(\mu_y, \Sigma) \] 其中，\(\mu_y\)是类别y对应的特征期望向量，\(\Sigma\)是所有类别的共享协方差矩阵。对于二分类问题，y取值为0或1，可以用伯努利分布来表示： \[ p(y) = \text{Bernoulli}(\phi) \] 伯努利分布是一个离散概率分布，通常用于表示二项实验的结果，例如成功（1）或失败（0）的概率。 GDA模型的整体形式可以表示为： \[ p(x,y) = p(y)p(x|y) = \phi^y(1-\phi)^{(1-y)} \cdot \mathcal{N}(x|\mu_y, \Sigma) \] 其中，\(\phi\)是类别的先验概率，即在没有观察x的情况下，y为某个类别的概率。 生成学习算法，如GDA，不仅试图找到最佳的决策边界，还尝试理解数据的内在生成过程。它们直接建模联合分布\(p(x,y)\)和条件分布\(p(y|x)\)，而不仅仅是决策边界。通过贝叶斯规则，可以推导出给定x的y的后验概率： \[ p(y|x) = \frac{p(x|y)p(y)}{p(x)} \] 在实践中，为了分类新样本，我们计算两个类别的后验概率，并选择具有最高后验概率的类别作为预测结果。由于在分类任务中，通常只关心哪个类别的概率更高，而不关心总概率\(p(x)\)，因此在实际预测时无需计算分母。 高斯判别分析模型在吴恩达等人的课程和教程中被广泛讲解，是理解和掌握机器学习基础的重要工具。它简单易懂，同时在某些情况下能够提供良好的分类性能。然而，需要注意的是，GDA模型的假设（特别是特征的正态性和协方差矩阵的共性）在某些复杂数据集上可能不成立，这可能影响其在实际应用中的效果。