数值分析基础：误差与线性方程组解法

"这篇笔记主要介绍了数值分析中的基础概念，如误差分析，以及解线性方程组的直接方法，包括Gauss消去法、直接三角分解法（如Doolittle分解、平方根法，如LDM分解和Cholesky分解）、追赶法（Crout分解）以及向量和矩阵的范数。" 在数值分析中，第一章绪论讨论了误差的计算和分类。绝对误差e表示近似值x与精确值x*之间的差异，即e = x* - x，而误差限ε定义了误差的范围，即|x - x*| ≤ ε。相对误差er反映了近似值相对于精确值的比例，当精确值未知时，可以用近似值x代替，即|er| = |e| / |x|。有效数字是从第一个非零数字到数位的总数，它用于衡量数值的精度。 第二章关注解线性方程组的直接方法。Gauss消去法是通过行变换将系数矩阵转化为上三角形，以便于求解。顺序Gauss消去法要求主元素非零，而主元Gauss消去法更稳定，通常选择列主元以最大化消元效果。直接三角分解法，如Doolittle分解，将矩阵A分解为L和U两个三角矩阵，使得A = LU，从而简化了求解过程。平方根法涉及LDM分解和Cholesky分解，适用于特定类型的矩阵，如对称正定矩阵。追赶法（Crout分解）是针对三对角矩阵的一种消元策略，适用于快速求解。 向量和矩阵的范数是数值分析中的重要概念。向量的范数满足非负性、齐次性和三角不等式等性质，常见的范数有1-范数（ Taxicab norm 或 Manhattan norm），2-范数（Euclidean norm）和∞-范数（Maximum norm）。不同范数之间存在等价性，这意味着存在常数m和M，使得对于所有向量x，m * ||x||_α ≤ ||x||_β ≤ M * ||x||_α。 这些基本概念和方法构成了数值分析的基础，对于理解和解决实际的数值计算问题至关重要。在实际应用中，选择合适的方法和考虑误差分析能够提高计算的准确性和效率。