证明正规稀疏幻方存在性：条件与构造

正规稀疏幻方的存在性是一个关于组合数学和图论的有趣课题，由苏仁旺和李文两位学者共同研究。他们定义了一种特殊的矩阵结构——n阶正规稀疏幻方（记为Sn(d,0)），其中n为正整数，d为非零元素的密度，每个矩阵有n行n列，每行和每列恰好有d个非零元素和n-d个零元素。这些非零元素取值范围是从1到nd的整数，并且满足特殊的和条件：每行、每列以及两条主要对角线上的元素之和相等。 幻方是一种经典的数学谜题，而正规稀疏幻方则是对其的一种扩展，它在图的标号问题中具有潜在的应用价值。苏仁旺和李文的工作主要关注这种稀疏幻方是否存在。他们的核心发现是，对于给定的正整数d和n，存在Sn(d,0)的充要条件： 1. 当n为奇数时，存在正规稀疏幻方的最小密度为d=3。这意味着，如果n是奇数，至少需要有3个非零元素出现在每行和每列中才能构成这样的幻方。 2. 当n为偶数时，情况更为复杂。不仅d必须是偶数，而且至少为4。这表明，如果矩阵的大小是偶数，每行每列的非零元素数量不仅需要成对出现，而且至少需要4对。 这个结果是基于细致的数学分析和构造技巧得出的，它不仅验证了正规稀疏幻方的理论可能性，还揭示了它们在特定参数下的唯一性或存在性。为了证明这一结论，两位作者可能使用了组合数学的方法，如组合排列、数论、递归构造或者图论中的相关定理，特别是与完全图或哈密顿路径相关的理论。 这篇论文发表于中国科技论文在线，得到了国家自然科学基金和浙江省自然科学基金的支持。作者苏仁旺作为副教授，主要研究方向包括组合数学与密码学，他和李文的合作成果不仅深化了人们对幻方的理解，也为相关领域的研究者提供了新的思考视角和方法。 关键词：“幻方”、“正规稀疏幻方”和“均匀稀疏幻方”反映了文章的核心内容，而“中图分类号：O157.2”则指示了该论文属于数学的特定子领域，即组合数学。这篇论文为幻方家族增添了新的成员，并对幻方的构造与存在的问题做出了有意义的贡献。