随机过程知识精要：从基础到数字特征

"该资源是针对大学生的《随机过程》课程的知识点汇总，包含随机变量及其分布、随机变量的数字特征、特征函数以及常见的随机变量分布等核心内容。" 在《随机过程》这门课程中，随机变量是基础概念之一。随机变量X可以分为离散型和连续型两种类型。对于离散型随机变量，它的概率分布通过分布列表示，其中每个可能的值x_k对应一个概率p_k，分布函数F(x)由这些概率之和构成。而连续型随机变量则用概率密度函数f(x)来描述，分布函数F(x)是通过对概率密度函数在x之下进行积分得到的。 当涉及多个随机变量时，我们关注它们的联合分布。对于n维随机变量(X_1, X_2, ..., X_n)，离散型的联合分布用联合分布列表示，连续型则用联合概率密度函数。数学期望(期望值)是衡量随机变量平均取值的指标，对于离散型随机变量，它是各个取值乘以相应概率的和；对于连续型随机变量，是概率密度函数与其变量乘积的积分。方差是衡量随机变量波动程度的统计量，它等于期望值的平方减去期望值的平方。 随机变量之间的关系可以用协方差和相关系数来刻画。协方差B_{XY}定义为两个随机变量期望值的乘积减去各自期望值的乘积，而相关系数ρ_{XY}是协方差除以两个随机变量方差的乘积的平方根，范围在-1到1之间。如果ρ_{XY}=0，则表示两个随机变量不相关，但不相关并不一定意味着独立。 特征函数是随机变量的重要工具，它是随机变量的期望值关于复数参数t的指数函数的期望值。对于离散型随机变量，特征函数是概率分布列中各项的指数函数之和；而对于连续型随机变量，是概率密度函数与指数函数乘积的积分。特征函数有若干重要的性质，例如当t=0时特征函数为1，且特征函数的导数与随机变量的期望值有关。 最后，文件提到了几种常见的随机变量分布，如0-1分布、二项分布、泊松分布和正态分布。0-1分布有两个可能的值0和1，分别对应的概率为p和q，期望值为pq，方差为pq。二项分布描述n次独立伯努利试验中成功k次的概率，期望值np，方差npq。泊松分布用于表示单位时间或区域内发生事件的次数，其期望值和方差均为λ。正态分布，也称为高斯分布，具有均值μ和标准差σ的特性，是自然界中广泛出现的一种分布。 以上就是《随机过程》中的关键知识点，这些概念和理论在数据分析、信号处理、金融工程等多个领域都有广泛应用。