Python实现：梯度下降与牛顿法求解Rosenbrock函数最小值

本文介绍如何使用Python实现梯度下降法和牛顿法来求解Rosenbrock函数的最小值。Rosenbrock函数是一种常用于测试优化算法性能的非线性函数，具有鞍点和宽谷特征。作者分别展示了两种优化方法的更新公式，并通过代码实现进行了对比。在实验中，梯度下降法迭代次数较多，约为5000次，而牛顿法则只需要大约5次迭代就能找到最小值点。 在机器学习和优化问题中，梯度下降和牛顿法是两种常用的数值优化方法。梯度下降是基于目标函数梯度信息的迭代方法，每次更新向着梯度负方向移动，以期望减少损失。牛顿法则则是利用目标函数的一阶导数（梯度）和二阶导数（海森矩阵）来寻找最小值，通常比梯度下降更快地收敛，但计算成本更高，因为需要计算二阶导数。 在Rosenbrock函数的梯度下降实现中，更新公式如下： \[ x_{t+1} = x_t - \alpha \cdot \nabla f(x_t) \] 其中，\( \alpha \) 是学习率或迭代步长，\( \nabla f(x_t) \) 是在当前点 \( x_t \) 的梯度。作者选择 \( \alpha = 0.002 \)，并发现如果步长过大，如 \( \alpha = 0.003 \)，则会导致震荡。 牛顿法的更新公式涉及海森矩阵 \( H \) 和梯度： \[ x_{t+1} = x_t - H^{-1}(x_t) \cdot \nabla f(x_t) \] 海森矩阵 \( H \) 描述了函数在某一点的局部曲率，其元素由目标函数的二阶偏导数组成。在牛顿法中，需要计算 \( H \) 的逆并乘以梯度来确定下一次迭代的位置。作者手动计算了Rosenbrock函数的二阶偏导，以构建海森矩阵。 实验结果表明，尽管梯度下降需要更多的迭代次数，但其实现相对简单，不需要计算二阶导数。而牛顿法虽然计算量较大，但在寻找Rosenbrock函数的最小值上表现出更好的效率，这得益于其利用二阶信息进行更精确的步长调整。 为了可视化优化过程，作者使用了`matplotlib`库绘制了Rosenbrock函数的等高线图，以及梯度下降和牛顿法的搜索轨迹。这有助于理解两种方法在不同维度上的表现和收敛特性。 在实际应用中，选择哪种优化方法取决于问题的具体情况。对于大规模或复杂问题，可能需要使用更高级的优化算法，如拟牛顿法或共轭梯度法，它们在保持梯度下降简单性的基础上，通过近似海森矩阵来提高收敛速度。同时，动态调整学习率和适应性学习率策略也是提高优化效率的重要手段。