量子算法计算曲线Zeta函数：多项式时间与实际应用

本文主要探讨了曲线Zeta函数在量子计算中的应用，特别是在有限域Fq上亏格g曲线的zeta函数计算方面。作者基兰·S·克瑞达拉雅，来自麻省理工学院数学系，提出了一个新颖的量子算法，该算法能够在多项式时间内处理这个问题，具体来说，时间复杂度为g多项式级别和log(q)。这是对长期以来算法数论领域的一个活跃问题的重大突破，尤其是对于密码学中椭圆曲线和超椭圆曲线的zeta函数求解，如Schoof算法和其后续改进虽然在g较小的情况下可行，但对于高亏格g的情况，效率极其低下。 Schoof算法利用模小素数的方法，尽管在log(q)方面表现良好，但在g的增长上却呈指数级。相比之下，Dwork的工作虽然理论上可能有潜力，但在实际应用中并不实用。克瑞达拉雅的量子算法则提供了希望，它表明了计算zeta函数分子P(t)的可能性，而且这个过程不仅在g上是多项式时间，还考虑到了log(q)的效率。 在论文中，定理1的核心内容是该量子算法的设计，它解决了在g和log(q)都为多项式时间内的zeta函数计算问题。然而，为了实现这一算法，需要一种有效的输入机制，使得输入曲线的表示长度能够保持在亏格多项式范围内。作者在后续章节中会详细阐述所选择的输入模型，以及如何通过多项式时间等价的替代方法来实现这一目标。 值得注意的是，量子算法通常涉及到概率性输出，因此在表述定理1时，作者对概率算法的约定也进行了明确。这与传统计算机科学中的经典算法有所不同，量子计算在某些情况下可以提供超越经典计算能力的优势。这篇论文不仅在理论层面上贡献了新的研究成果，也为未来在密码学、信息安全等领域使用量子计算进行高效Zeta函数计算提供了新的可能性。