深度解析：支持向量机(SVM)原理与应用

"支持向量机详解（SVM） 本文档详细介绍了支持向量机（SVM）的概念，从直观理解到数学推导，包括函数间隔、几何间隔、最大间隔分类器、优化问题、拉格朗日乘数法、对偶问题、核函数、软间隔SVM、参数优化以及SMO算法等核心内容。" 支持向量机（Support Vector Machine，简称SVM）是一种二类分类模型，它的基本模型是定义在特征空间上的间隔最大的线性分类器。SVM试图找到一个超平面，使得两类样本在这个超平面上的间隔最大。 **从logistic认知** SVM的直观理解可以借助逻辑回归（Logistic Regression）来建立。逻辑回归通过计算特征与权重的内积来预测输出标签，SVM也是基于相似的思想，但其目标是最大化这个间隔，使得分类边界更具有鲁棒性。 **符号定义** - 标签 `Y` 可取 {-1, 1}，表示两类样本。 - 函数 `g(z) = sign(z)` 定义了分类规则，如果 `z > 0`，则预测为正类（1），否则为负类（-1）。 - 决策函数 `h(x) = w^T * x + b`，其中 `w` 是权重向量，`b` 是偏置项，`x` 是特征向量。 **函数间隔与几何间隔** - 函数间隔是指样本点到决策边界的直线距离，未考虑样本点的标签。 - 几何间隔是考虑了样本标签后的实际间隔，是函数间隔的缩放版，等于函数间隔除以样本点的范数。 **最大间隔分类器** SVM的目标是找到最大化几何间隔的超平面。这可以通过解决一个优化问题来实现，即最小化那些离决策边界最近的样本点（支持向量）的距离。 **优化最大间隔分类器** SVM通过拉格朗日乘数法处理约束优化问题，引入惩罚项来处理非线性可分情况，形成软间隔支持向量机。 **拉格朗日对偶问题** 原问题难以求解时，可以转化为对偶问题求解。SVM的对偶问题涉及到寻找最优的拉格朗日乘数，这有助于引入核函数，将数据从原始空间映射到高维特征空间。 **核函数** 核函数是SVM中一个重要的概念，它允许我们进行非线性分类。通过核函数，原始数据在特征空间中的内积可以被有效地计算，而无需直接在高维空间操作。 **L1 norm soft margin SVM（软间隔SVM）** 引入L1范数惩罚项，允许一部分样本点违反最大间隔原则，形成软间隔，增强模型对噪声和异常值的容忍度。 **参数优化** SVM参数的优化通常涉及寻找最优的拉格朗日乘数`α`。这一过程可以通过一系列迭代算法完成，例如SMO（Sequential Minimal Optimization）算法，该算法通过最小化一对拉格朗日乘数的误差来逐步更新所有`α`。 **SMO算法** SMO是求解SVM对偶问题的有效算法，它通过选择两对拉格朗日乘数进行优化，依次更新直到收敛，从而找到全局最优解。 SVM是一种强大的分类工具，通过寻找最大间隔超平面实现分类，并通过核函数扩展到非线性场景，同时利用对偶问题和优化算法如SMO进行参数估计。