线性二次型最优控制：跟踪与状态调节

"这篇资料主要讨论的是线性二次型最优控制问题，特别是在Yr(t)不等于0的情况下，如何设计控制器使得系统输出Y(t)能够紧密跟踪Yr(t)的变化，即跟踪问题。该问题在工程实践中有着广泛的应用，因为它可以兼顾系统性能的多个方面，如快速性、能耗、精度、灵敏度和稳定性。" 线性二次型最优控制问题是一个重要的控制理论主题，它涉及到线性系统在具有二次型性能指标下的最优化问题。在这种问题中，目标是找到一个控制输入U(t)，使得由性能指标J定义的函数达到最小。J通常是一个与系统状态误差e(t)=Yr(t) - Y(t)以及控制输入U(t)相关的二次型函数，其中Yr(t)是期望的输出变量，Y(t)是实际的系统输出。 给定一个线性时变系统，其状态方程和输出方程由状态变量X(t)，控制变量U(t)，输出变量Y(t)，以及相应的矩阵A(t)，B(t)，C(t)描述。在Yr(t)≠0的情况下，问题转换为设计一个控制策略，使得输出Y(t)能够紧密跟踪期望的输出Yr(t)。性能指标J包括状态误差e(t)的权重矩阵Q(t)和控制输入U(t)的权重矩阵R(t)，这些矩阵都是对称的，并且Q(t)半正定，R(t)正定，以确保J的最小化意味着状态误差的最小化和控制输入的适当限制。 如果输出矩阵C(t)等于单位矩阵，且期望输出Yr(t)为0，性能指标就变成了只与状态变量X(t)相关的函数，这时的问题被称为状态调节器问题。目标是通过控制U(t)使得系统状态X(t)保持在零附近，即最小化状态的偏差。 线性二次型最优控制问题的解决方案通常涉及拉格朗日乘子法和动态规划，可以导出一个最优控制律，它以状态变量的反馈形式给出，这在计算和工程实现中非常实用。此外，这类问题不仅限于状态调节，还可以扩展到输出调节器问题和跟踪问题，涉及更复杂的控制策略来适应不同类型的系统需求。 总结来说，线性二次型最优控制是一种强大的工具，能够解决多种控制问题，并在实际工程应用中，如航空航天、自动化、电力系统等领域发挥着关键作用。通过优化性能指标，可以实现对系统性能的全面控制，同时考虑到控制输入的经济性和系统的稳定性。