光滑化算法求解不等式约束优化：内点法与全局收敛性分析

"一种求解不等式约束优化问题的光滑化算法 (2011年)" 在优化理论中，不等式约束优化问题是一个重要的研究领域，它涉及到寻找一个向量x，使得在满足一系列不等式约束的情况下，某个目标函数f(x)达到最小值。该文提出了一种新的光滑化算法，特别适用于解决这类问题。 文章首先介绍了如何利用光滑函数来处理不等式约束优化问题的Karush-Kuhn-Tucker (KKT) 条件。KKT条件是非线性优化问题的一组必要条件，它结合了梯度信息和约束条件，确保了解的存在性。通过构建一个扰动方程组，该算法能够逐步逼近这些条件，从而找到优化问题的解。 文中提出的内点型算法是一种迭代方法，其核心在于在每次迭代中，通过改变变量的取值范围，逐渐逼近问题的边界，同时保持解的内部性质，即解始终位于可行域的内部。这种方法的优势在于能够避免在边界上的困难，且通常具有良好的数值稳定性。 算法的有限步终止特性意味着在经过有限次迭代后，算法将到达一个点，这个点满足KKT条件，并且是原优化问题的一个精确稳定点。这意味着在这个点上，目标函数的梯度与约束的负梯度方向相正交，同时约束条件得到满足，这通常是局部最优解的标志。 作者进一步证明，在一定的假设下，该算法具备全局收敛性。这意味着无论初始迭代点位于何处，只要满足一定的条件，算法都将收敛到问题的全局最优解。这对于实际应用中的优化问题至关重要，因为全局最优解通常是人们追求的目标。 文章的数值试验部分展示了算法的有效性，通过解决一系列精心挑选的测试问题，验证了该算法不仅能够找到解，而且在计算效率和准确性方面表现良好。这些实验结果为算法的实际应用提供了信心。 该论文提供了一种创新的、基于内点技术的光滑化算法，对于解决不等式约束优化问题具有重要的理论价值和实践意义。通过巧妙地处理约束条件和迭代过程，该算法能够在有限步骤内找到精确的稳定解，并且在全局范围内保证收敛性，这在非线性规划领域是一项重要的贡献。