线性规划基础：单纯形法与对偶理论

"线性规划的基本理论" 线性规划是一种优化技术，用于在满足一组线性约束条件下，最大化或最小化一个线性目标函数。在实际应用中，它被广泛应用于决策制定，例如生产计划、资源配置和投资组合优化等问题。本资料主要涵盖了线性规划的基本理论，包括单纯形法和对偶理论。 线性规划问题通常表示为标准形式，如文档中所示，由一系列线性不等式或等式约束和一个线性目标函数组成。目标是找到满足所有约束条件的可行解，使得目标函数达到最大值或最小值。其中，约束矩阵包含了这些不等式或等式的系数，非负约束则规定了解的各个分量必须非负。 一个可行解是指同时满足约束方程组和非负约束的向量，它们的集合构成了可行解集，也叫可行域。如果这个向量使得目标函数达到最优值，那么它被称为最优解，对应的目标函数值就是最优值。 线性规划的单纯形法是解决线性规划问题的一种有效算法。它通过迭代的方式，将非基变量替换为基变量，每次迭代都确保目标函数值有所改善，直到达到最优解。在这个过程中，满秩的基子矩阵用于构建新的解，非基变量被设为零，以确保新解满足约束条件。 对偶理论是线性规划的另一个重要方面，它提供了原问题与对偶问题之间的关系。对偶问题的变量对应于原问题的约束，其目标函数是原问题约束的线性组合，且其约束是原问题变量的非负性。对偶单纯形法是解决对偶问题的单纯形算法，有时可以提供更快速的收敛速度或有助于理解和解决原问题。 教学的重点在于单纯形法，这需要理解如何构建和操作基，以及如何通过迭代改进解的质量。对偶单纯形法则相对较难，因为它涉及到理解和转换原问题为对偶问题，然后用对偶问题的单纯形法求解。 教学过程中可能采用启发式方法，结合多媒体演示和板书讲解，以帮助学生深入理解线性规划的抽象概念和实际应用。通过6学时的学习，期望学生能够理解并掌握线性规划的基本理论，能运用单纯形法解决实际问题，并对对偶理论有一定的了解。同时，通过实例解析，如文档中的例1，来帮助学生更好地理解线性规划问题的求解过程。