使用凯莱-哈密尔顿定理计算矩阵指数

"这篇资料是麻省理工学院机械工程系2.151高级系统动力学与控制课程的一部分，主题是使用凯莱-哈密尔顿方法计算矩阵指数。矩阵指数在确定线性时不变（LTI）系统的无阻尼（自由）和有阻尼（强迫）响应中起到基础作用。通过这种方法，可以更有效地解决状态方程。" 在深入探讨之前，首先理解一些基本概念。矩阵指数\( e^{At} \)在系统理论中扮演着核心角色，特别是在描述LTI系统的动态行为时。无阻尼响应指的是系统在没有外部输入时的行为，而有阻尼响应则涉及到系统如何响应外部激励。矩阵\( A \)通常代表系统的动态特性。 凯莱-哈密尔顿定理是线性代数中的一个关键结果，它指出每一个方阵都满足其自身的特征多项式。对于一个维度为\( n \)的方阵\( A \)，它的特征多项式为\( ∆(s) = |sI - A| \)，其中\( s \)是变量，\( I \)是单位矩阵，\( c_n, c_{n-1}, ..., c_0 \)是多项式的系数。将\( s \)替换为\( A \)，我们得到对应的矩阵多项式\( ∆(A) \)。 定理表明，\( ∆(A) \)的结果是零矩阵，即\( ∆(A) \equiv [0] \)。这等价于说，矩阵\( A \)的特征多项式在它的特征值\( λ_1, ..., λ_n \)处取零。这个性质是解线性微分方程或状态方程的关键。 为了利用凯莱-哈密尔顿定理来计算矩阵指数，可以将任意关于\( A \)的多项式\( P(A) \)表示为特征多项式\( ∆(A) \)的倍数加上余项\( R(A) \)。通过长除法，我们可以找到一个多项式\( Q(A) \)，使得\( P(A) = Q(A)∆(A) + R(A) \)，且余项\( R(A) \)的阶数低于\( ∆(A) \)。 计算\( e^{At} \)时，可以通过泰勒级数展开，但由于\( ∆(A) \)为零矩阵，\( A \)的高次幂项会消失，从而简化计算。具体步骤包括： 1. 将\( e^{At} \)展开为泰勒级数，即\( e^{At} = I + At + \frac{A^2t^2}{2!} + \frac{A^3t^3}{3!} + ... \)。 2. 利用凯莱-哈密尔顿定理，所有高于\( A^n \)的项都将被零矩阵替代。 3. 通过特征多项式的形式，可以简化高次幂的计算。 4. 最后，结合余项\( R(A) \)（如果有的话），求得\( e^{At} \)的精确表达。 这种方法对大型矩阵尤其有用，因为它减少了计算量，避免了直接计算高阶矩阵幂的复杂性。在现代控制系统的设计和分析中，精确、高效地计算矩阵指数是必不可少的，因此凯莱-哈密尔顿方法是一个重要的工具。