非线性方程求解：牛顿法与二分法解析

该资源是一份关于解决非线性方程组优化问题的PDF文档，主要探讨了如何利用牛顿迭代法和正割法来找到最大似然估计的问题。文档中包含具体的数学公式和迭代算法的实现代码，适用于统计计算和优化领域的学习者。 在优化与求解非线性方程组的问题中，极大似然估计是一种常用的方法。例如，文档中给出一个求解函数\( g(x) = x + \ln(x) \)最大值点的问题，由于没有直接的解析解，我们需要通过数值方法来解决。文档中提到了两种方法：二分法和牛顿法。 1. **二分法**： - 定义：在已知函数\( g(x) \)在区间\( [a, b] \)上连续，且\( g(a)g(b) < 0 \)，即存在至少一个零点的情况下，不断将区间二分为两半，直到满足停止准则。 - 停止准则：当区间长度小于某个预定的阈值\(\epsilon\)，或者连续两次分割后区间端点的函数值差的绝对值小于\(\epsilon\)。 - 更新公式：每次迭代将区间取为\( [a, (a+b)/2] \)或\( [(a+b)/2, b] \)，取决于\( g((a+b)/2) \)的符号。 2. **牛顿法**： - 牛顿法是解决单变量优化问题的迭代方法，适用于求解函数的极值点。 - 更新迭代公式：\( x_{t+1} = x_t - \frac{g(x_t)}{g'(x_t)} \)，其中\( g'(x) \)是函数\( g(x) \)的一阶导数，\( g''(x) \)是二阶导数。 - 定理：若函数\( g(x) \)的三阶导数连续，且在点\( x^* \)处\( g'(x^*) = 0 \)，那么在\( x^* \)的邻域内，选择任何初始点，牛顿法都会收敛到\( x^* \)。 - 证明：利用泰勒展开和二阶导数的符号判断，可以得出在\( x^* \)附近迭代会向\( x^* \)靠近的结论。 这两种方法都是寻找函数极值点的有效工具，但牛顿法通常更快，因为它利用了二阶导数的信息。然而，牛顿法需要计算函数的高阶导数，且对于初始点的选择较为敏感，而二分法则相对简单且稳定。在实际应用中，需要根据具体问题的特性来选择合适的求解策略。代码部分提供了这些方法的实现，读者可以根据文档中的函数定义J, J1, J2来调整以适应不同的问题。