堆优化Dijkstra算法：邻接表实现与效率提升

堆优化的Dijkstra算法是一种用于寻找图中两点间最短路径的经典算法，结合了邻接表数据结构和优先队列（堆）的特性，提高了算法的效率。在这个特定实现中，我们看到以下几个关键知识点： 1. **数据结构**： - 使用邻接链表表示图：邻接链表是一种常见的图存储方式，每个节点包含指向其相邻节点的指针，这有助于快速访问和插入/删除边，节省空间。 - 堆（Heap）：这里采用最小堆，堆是一种特殊的树形数据结构，具有父节点的值小于或等于子节点的值（对于最小堆）。在Dijkstra算法中，堆用于存储待处理的顶点，通过频繁地删除最小值（当前最短距离的顶点）来驱动算法的进行。 2. **算法流程**： - **初始化**：首先，定义一个`Dist`结构体来存储每个顶点的距离（`d`）和位置（`pos`），并将所有顶点的距离初始化为无穷大（`INF`），表示未找到路径。同时，定义一个`Heap`结构体来存储堆中的元素，以及一个全局变量`ths`表示堆的大小。 - **插入边**：函数`insert`用于向邻接链表中添加边，并在堆中相应地更新顶点的距离。 - **堆操作**： - `sink` 函数用于调整堆中元素的位置，确保最小值始终在堆的顶部。 - `delete_min` 删除并返回堆中最小的元素（即当前最短距离的顶点）。 - `swim` 函数用于将新插入或更新距离的顶点上浮到正确的位置，保持堆的性质。 3. **算法核心**： - `heap_dijk` 是主函数，它执行整个堆优化的Dijkstra算法。首先将所有顶点标记为未访问（`visit[]`数组），然后从源节点（`s`）开始，通过迭代过程不断更新每个顶点的最短距离。每次从堆中取出距离最小的顶点，更新与其相邻的顶点的距离，并可能调整堆结构。 4. **控制循环**： - 使用for循环处理每个顶点`i`，如果`visit[i]`为0（表示未访问），则执行Dijkstra的常规步骤：标记为已访问，检查所有相邻顶点，通过边的权重计算新的距离，并根据需要更新堆中的元素。 5. **时间复杂度与空间复杂度**： - Dijkstra算法的时间复杂度通常为O((E+V)logV)，其中E是边的数量，V是顶点的数量。使用堆可以显著减少搜索次序的时间，但邻接表减少了空间需求，使得整体更高效。 这个堆优化的Dijkstra算法利用邻接链表和堆的数据结构实现了求解图中最短路径的问题，其重点在于维护堆的最小性，以高效地找到和更新最短路径。通过这种方式，即使在大型图中也能得到良好的性能表现。