UV-分解理论在锥约束lower-c2规划中的应用

"UV-分解在一类具有锥约束的lower-c2规划中的应用* (2008年)" 本文探讨了非光滑优化领域中的一个重要理论——UV-分解理论，该理论由Lemarechal, Mifflin, Sagastizabal和Oustry等人在2000年提出。这一理论在非光滑凸函数f的二阶性质分析中起到了关键作用，特别是在处理不可微点的情况下。UV-分解的核心是将欧几里得空间R^n划分为两个正交子空间U和V的直和，其中函数f在U空间内的一阶近似表现为线性，而其不光滑特性则集中在V空间。 UV-分解理论通过引入中间函数——U-Lagrange函数，能够揭示函数在切于U空间某光滑轨道上的二阶展开。文章进一步将这一理论扩展到包含锥约束的非凸函数问题。锥约束优化问题通常涉及到寻找满足特定锥约束条件的最小化解，例如在给定的连续函数J和闭凸锥K的情况下，找到使得J(x)最小化的点x，同时满足约束条件G(x)属于锥K。 文章首先回顾了lower-c2函数的UV-空间分解结构，这类函数在局部可以转化为D.C（Difference of Convex）函数。然后，通过罚函数法分析了这种罚函数在UV空间的分解特性，以及它在一阶和二阶性质上的表现。罚函数方法是一种常见的处理约束优化问题的策略，通过添加惩罚项使无约束优化问题的解接近原问题的解。 作者在引理1中阐述了lower-c2函数在局部的特殊表示形式，并在命题1中证明了lower-c2函数在R^n上的正则性和一阶导数的性质。这些结果为后续对锥约束lower-c2规划的二阶展开问题的研究奠定了基础。 通过UV-分解理论，文章能够深入研究具有锥约束的非凸函数的一阶和二阶展开，这对于理解和求解这类复杂优化问题至关重要。这不仅有助于算法设计，也为实际问题的数值求解提供了理论支持。这项工作扩展了UV-分解的应用范围，加深了我们对非光滑优化问题的理解，特别是涉及锥约束的非凸优化问题。