图论基础概念与运算解析

"本文档包含了电子科技大学研究生课程的图论知识点总结，涵盖了所有重要的概念，但大题的例题没有给出答案，需要参考课程PPT解答。主要标签为电科图论和考点整理。" 图论是计算机科学、数学和其他领域的重要理论基础，主要研究点与点之间的连接结构。以下是对文档中提及的一些核心知识点的详细说明： 1. **图的基本概念** - **图**：由顶点和边组成的结构，记为G=(V,E)，其中V是顶点集，E是边集。 - **简单图**：无环无重边的图，即不存在重复的边和自环。 - **平凡图**：只有一个顶点的图。 - **空图**：只有顶点没有边的图。 - **完全图**：每对不同的顶点间都有一条边，边数为n*(n-1)/2，其中n是顶点数。 - **k-正则图**：所有顶点的度数都为k的图。 - **偶图/二部图**：点集可以分为两个子集，使得每条边连接不同子集的顶点。如果一个图没有奇数长度的循环，那么它是偶图。 2. **图的同构与自同构** - **图同构**：两个图的顶点可以一对一对应，保持边的关系不变，这样的两个图是同构的。 - **自同构**：图G的某个自同态映射，使得每条边映射到自身，即G与其自身的同构。 3. **补图与自补图** - **补图**：原图中两点之间无边，则补图中有边；原图中有边，则补图中无边。 - **自补图**：其补图与原图同构的图。 4. **度序列与图序列** - **度序列**：图中所有顶点的度数按任意顺序排列成的序列。 - **图序列**：一个非负整数序列，如果它可以表示某个简单图的度序列，则称其为图序列。 5. **图的运算** - **删点**：移除一个顶点及其所有相关的边。 - **删边**：仅移除指定的边，不改变其他边。 6. **其他重要概念** - **最大度**（Δ）：图中度数最大的顶点的度。 - **最小度**（δ）：图中度数最小的顶点的度。 - **握手定理**：所有顶点度数之和等于边数的两倍。 - **奇点个数**：度数为奇数的顶点数，根据握手定理，奇点个数总是偶数。 - **正则图**的度数和阶数不能同时为奇数，否则握手定理会矛盾。 7. **判定定理** - **图序列判定**：通过特定条件判断一个非负整数序列是否为图序列，如：度序列的元素总和为偶数，满足特定的定理条件等。 这些概念构成了图论的基础，并在算法设计、网络分析、数据结构等领域有着广泛的应用。对于研究生课程而言，理解和掌握这些知识点是必要的，而通过解决相关问题和练习，可以进一步深化理解。