MATLAB一元线性回归分析详解

"该资源为MATLAB一元线性回归的实例教程，适合初学者学习。教程通过城镇居民家庭人均可支配收入与城市人均住宅面积的例子，解释了线性回归在统计推断中的应用，以及如何在MATLAB中进行一元线性回归分析。" 在统计学中，一元线性回归是一种研究两个变量之间关系的方法，其中一个变量是自变量（x），另一个是因变量（y）。在本实例中，自变量可能是城市人均住宅面积，而因变量则是城镇居民家庭的人均可支配收入。线性回归模型假设因变量y与自变量x之间存在线性关系，即y = a + bx + ε，其中a是截距，b是斜率，ε代表随机误差项。 一元线性回归模型的基本假设是误差项ε服从均值为0的正态分布，并且独立于自变量x。通过收集多组观测数据(xi, yi)，可以估计模型参数a和b。在MATLAB中，我们可以使用最小二乘法来求解这些参数。最小二乘法的目标是最小化预测值与实际观测值之间的残差平方和，也就是Q(a, b)。 MATLAB提供了内置函数如`regress`或`polyfit`来进行线性回归分析。`regress`函数可以直接估计出a和b的最小二乘估计值，而`polyfit`函数可以用来拟合不同阶数的多项式，对于一元线性回归，使用`polyfit(x, y, 1)`即可。 在估计过程中，我们寻找使得Q(a, b)最小的a和b。这可以通过计算Q关于a和b的偏导数并令它们等于零来实现，从而得到a和b的封闭形式表达式。对于a的估计，我们有： â = (∑yi - b̂ ∑xi) / n 对于b的估计，我们有： b̂ = (∑(xi - x̄)(yi - ȳ)) / (∑(xi - x̄)²) 其中，x̄和ȳ分别是x和y的样本均值，n是样本数量。 在MATLAB中，可以直接用观测数据计算这些估计值，进而构建回归方程。然后，可以通过残差分析、R²值、t检验和F检验等统计方法来评估模型的拟合优度和参数的显著性。 这个实例不仅介绍了线性回归的理论基础，还展示了如何在MATLAB环境中进行实际操作，对于学习和理解一元线性回归分析具有很好的实践指导意义。