高阶FEM接口问题误差估计器：理论与数值实验

"这篇论文研究了使用高阶有限元方法（FEM）求解界面问题时的误差估计器。在处理这种问题时，多项式的度数可以任意设定，但FEM变分公式中的度数是固定的。论文提出了一个新的误差估计器，这个估计器被证明既有效又可靠。通过分析，作者展示了误差估计器与精确度之间的上下界关系。在传输问题中，内域和外域的系数可能存在显著差异，这给接口处的误差估计带来挑战。后验误差估计提供了一种逐个元素高效计算的方法。为了验证理论分析的正确性，论文还展示了一些数值实验的结果。该研究发表在《Applied Mathematics》期刊2017年第八卷，第12期，页码1769-1794，doi为10.4236/am.2017.812127。" 详细知识点： 1. **高阶有限元方法 (Higher Order Finite Element Method)**：这是解决界面问题的一种数值方法，允许使用任意多项式度来提高计算精度。高阶FEM可以通过使用更复杂的形状函数来减小近似误差，从而获得更精确的解。 2. **接口问题 (Interface Problem)**：在工程和物理中，接口问题通常涉及两个或更多具有不同物理属性的区域之间的交界。例如，不同材料或介质之间的边界。处理这些问题需要特别考虑界面条件，以确保连续性和物理守恒。 3. **误差估计器 (Error Estimator)**：在数值分析中，误差估计器是一种工具，用于估计解的精确度和计算误差。本文提出的误差估计器对于高阶FEM而言是有效的，意味着它能准确反映解的质量。 4. **后验误差估计 (A-posteriori Error Estimate)**：与先验误差估计（在计算解之前预测误差）相反，后验误差估计是在计算了解之后进行的，它可以提供关于解的局部和全局误差信息。文中提到的后验误差估计可以逐个元素进行，这提高了计算效率。 5. **传输问题 (Transmission Problem)**：这类问题涉及到通过界面的物质或能量传输，通常涉及不同区域内的系数变化。在本文的上下文中，这些系数可能在内部和外部域之间有显著差异，增加了计算的复杂性。 6. **系数 (Coefficients)**：在数学模型中，系数是与变量相乘的常数，它们反映了物理属性，如扩散率、弹性模量等。在界面问题中，系数的不连续性可能导致界面附近的误差增加。 7. **数值结果 (Numerical Results)**：为了验证理论分析的有效性，作者进行了数值模拟并报告了结果。这些结果可以用来检验误差估计器的性能，以及高阶FEM在实际应用中的效果。 该研究聚焦于在高阶有限元框架下处理界面问题的误差控制策略，特别是通过提出一个高效的后验误差估计器来优化计算过程。这对于理解和改善数值模拟的精度至关重要。