数学复习：向量与线性相关性解析

"这篇资料是关于数学优化的介绍，涵盖了向量、向量运算和线性相关性等基本概念。" 在数学优化中，向量是基础且关键的概念。向量不仅包含元素的大小（模长或 magnitude），还包含它们的位置，具有方向性。一个n维向量有n个元素，通常默认表示为列向量，用小写的加粗字母表示，如 **v**。 向量的加法是将两个向量的对应元素相加。如果有两个n维向量 **u** = (u1, u2, ..., un) 和 **v** = (v1, v2, ..., vn)，它们的和 **w** = **u** + **v** 将会是每个对应元素相加的结果，即 w_i = u_i + v_i，其中i从1到n。 向量与标量（scalar）的乘法是指将向量的每个元素都乘以同一个标量。若标量为α，向量 **v** 的标量乘积表示为 α**v**，其中每个元素 v_i 变为 αv_i。 特殊向量包括单位向量和零向量。单位向量是模长为1的向量，其中第i个位置的元素为1，其余位置为0。例如，二维空间中的单位向量 **i** = (1, 0) 和 **j** = (0, 1)。零向量所有元素均为0，记作 **0**。 线性相关性和线性无关性是向量集合的重要性质。一组向量 {a1, a2, ..., ak} 被称为线性无关，如果唯一的解是当系数 αi (i=1,2,...,k) 都等于0时，等式 α1a1 + α2a2 + ... + αka_k = 0 成立。反之，如果一组向量可以表示为其余向量的线性组合，那么它们就被称为线性相关。例如，要证明向量 (2, 4) 和 (3, 4) 是否线性相关，我们可以通过检查是否存在非零系数使得它们的线性组合等于零向量。在这种情况下，由于两向量的第二个分量相同，而第一个分量不同，它们是线性相关的，因为 (3, 4) 可以表示为 (2, 4) 的一倍加上零向量。 这部分内容是数学优化的基础，特别是对于线性规划、凸优化等领域至关重要。理解和掌握这些概念是进一步学习和应用优化技术的前提。