多元回归方程检验：拟合度与经济预测实例

多元回归方程的检验是计量经济模型中的关键环节，它涉及到对线性关系的深入理解和评价。首先，通过线性方程的方差分析原理，我们有方差分解公式，即总误差平方和等于回归平方和加上残差平方和，用符号表示为：∑(y-y)^2 = ∑(ŷ-y)^2 + ∑(y-ŷ)^2，其中(y- ŷ)代表观测值与预测值的偏差，ŷ是回归估计值，而(y-y)代表总体误差。 回归方程的拟合程度是通过可决系数(R²)来衡量的，它是回归平方和占总误差平方和的比例，即R² = S回/S总，反映了模型解释自变量变化对因变量影响的程度。修正的可决系数考虑了变量自由度的影响，有助于更准确地评估模型的拟合效果。例如，给出的案例中，修正后的R²值为0.84，表明模型对数据的解释能力较强。 在估计回归参数时，我们利用最小二乘法求解，通过令目标函数的二阶导数等于零得到回归系数a和b的估计值。回归系数b的意义在于，它衡量了当自变量x每增加一个单位时，因变量y的预期平均变化量。此外，我们还计算了估计的标准误差和相关系数，它们用于衡量估计值的精度和自变量与因变量之间的线性关系强度。 线性回归模型的预测是模型的重要应用之一。当样本量较大(n>30)时，预测误差通常服从正态分布，此时预测区间可以通过z统计量确定；而对于小样本(n<30)，误差分布可能不服从正态，需使用t分布，预测区间会包含一个调整因子以考虑样本大小的影响。 在给出的例子中，通过计算各个观测点的数据，我们得到了回归线的斜率b的估计值，以及预测误差和相关系数的计算，这对于验证模型的适用性和预测准确性至关重要。最后的方差分析显示了回归模型的整体误差情况，以及每个观察点的误差贡献。 多元回归方程的检验是建立和评估计量经济模型的核心步骤，它包括模型的拟合度评估、参数估计和预测能力的考量，这些都对经济预测的可靠性和有效性有着决定性作用。通过掌握这些方法，经济学家和分析师能够更精确地分析数据，预测经济趋势，并做出决策支持。