北航数值分析编程实践：矩阵特征值与行列式计算

在北航的数值分析编程实践中，学生被要求通过C++实现一系列与矩阵相关的算法。这些题目主要集中在矩阵的特性值和行列式的计算上，旨在增强学生对数值分析方法的理解和编程能力。 一、算法设计方案： 1. 特征值计算：题目要求使用幂法迭代求解矩阵A[501][501]的按模最大的特征值，以及相应的特征向量。通过幂法，学生需要理解特征值的性质，即模最大的特征值对应于模最大的特征向量，并且在有实数域时，该特征值是非负的。接下来，他们需要根据已知的特征值，进一步求解矩阵的其他特征值，如模最小的特征值，通常可通过反幂法计算得到。 2. 特征值最小的计算：矩阵A按模最小的特征值，是通过反幂法在对矩阵进行适当平移后找到的。这里的平移涉及到矩阵的条件数，它衡量了矩阵的敏感度，是数值稳定性的重要指标。通过反幂法，学生将学会如何处理矩阵的非对称性和条件数对特征值计算的影响。 3. 条件数计算：矩阵A的条件数与特征值的极差有关，它是矩阵A的模最大特征值除以其模最小特征值。通过求解平移后的矩阵，学生能理解条件数如何影响特征值的精确性，并学习如何在实际计算中处理这个问题。 4. 行列式计算：矩阵A的行列式可以通过LU分解来求解，这是一种高效的求解线性方程组的方法。通过对矩阵进行分解，学生会看到如何将一个复杂问题转化为更易处理的子问题，即求解对角线上元素的乘积，从而得到行列式的值。 二、源程序实现： 提供的源代码片段包含了几个关键函数的声明，如`c矩阵赋值函数array()`、`LU分解函数LUDet()`、幂法和反幂法的计算函数`mifa()`和`fanmifa()`，以及主程序`main()`。学生需要在这个基础上实现算法并调用这些函数，以解决上述的矩阵特性和行列式计算问题。 这些练习不仅涉及到了基础的矩阵运算，还涵盖了数值分析中的核心概念，如特征值和条件数，以及实际的编程技术，如矩阵压缩存储和分解算法的运用。通过完成这些任务，学生能够提升矩阵计算的理论知识和编程技能，为后续的数值分析学习打下坚实的基础。